Coloquio de Matemáticas

We will define tilting modules in various categories of representations arising in Lie theory and discuss how they form a skeleton of these categories and some consequences of this.

Muchos métodos en Machine Learning usados para extraer información de una nube de datos se pueden definir de manera precisa en términos de objetos matemáticos asociado a los datos. Los datos son usualmente de gran complejidad y vienen en gran numero, y en este contexto un concepto matemático que se puede explorar es el de "clausura" de una cierta clase de procedimientos estadísticos para su análisis (esto es, cuales son los procedimientos límite a medida que el número de muestras crece hacia infinito). En esta charla exploraré este concepto en el contexto de métodos que se basan en la construcción de un grafo sobre los datos. Algunos ejemplos de tales procedimientos son la minimización de cortes de Cheeger para clustering, clustering espectral, y métodos bayesianos para semi-supervised learning, entre otros. Presentaré las ideas matemáticas necesarias para hacer el análisis asintótico, y también discutiré algunas de las implicaciones de este: nuestros resultados prueban la consistencia estadística de muchos de tales procedimientos, nos dan información cuantitativa en forma de escalamiento de parámetros y tasas de convergencia y sugieren el uso de algoritmos para el análisis de datos.

H=W

La cohomología de grupos nació de las numerosas interacciones entre álgebra y topología que se produjeron entre los años 1930 y los años 1960 y ha encontrado aplicaciones diversas, tanto en teoría de números como en geometría. En esta charla, repasaremos algunas, tratando de ilustrar el vaivén extremadamente fecundo entre los puntos de vista algebraico y topológico.

La reciprocidad cuadrática de Gauss, el teorema de progresiones aritméticas de Dirichlet, el teorema de Kronecker-Weber la prueba al último teorema de Fermat por Wiles y compañía, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, una de las motivaciones iniciales de Scholze para el desarrollo de sus espacios perfectoides, son todos ejemplos del profundo impacto que tienen las representaciones de Galois en la teoría de números contemporánea. El desarrollo de class field theory a inicios del siglo 20 no es otra cosa que el estudio 1-dimensional de tales representaciones, y los resultados en esta área no son otra cosa que el caso n=1 del programa de Langlands. En esta charla explicaré qué son las representaciones de Galois, qué tienen que ver con los resultados mencionados arriba, y de qué trata el programa de Langlands. Como de costumbre haré mi mayor esfuerzo para que la charla pueda ser seguida por una audiencia matemática general.

Let K^n denote the set of convex bodies (compact and convex sets) in R^n. This set is naturally endowed with some structure. There is the Minkowski addition, defined by K+L = { x+y: x ∈ K, y ∈ L}, and the Hausdorff distance. Endowed with this structure K^n is a closed cone in the space of compact sets albeit a complicated one - most convex bodies are extremal elements. Investigating endomorphisms of this cone, with possibly additional properties, is one approach to gain a better understanding of its structure. In 1974 Schneider introduced the notion of Minkowski endomorphisms. A Minkowski endomorhpism is a continuous, and SO(n)-equivariant map ɸ: K^n → K^n that is Minkowski additive, i.e. satisfying ɸ(K+L) = ɸ(K) + ɸ(L), K, L ∈ K^n. While Schneider was able to fully characterize Minkowski endomorphisms in the plane, in higher dimensions much less is known. In this talk, I will motivate and present a result from my PhD-thesis that establishes that Minkowski endomorphisms are Lipschitz-continuous up to normalization. This proves in a stronger form a conjecture first posed around 20 years ago by Kiderlen.

We will discuss some interesting phenomena related to the computations of the volume of the cube and Euclidean ball in high dimensions.

En teoría de modelos se define el rango de Morley sobre la familia de los subconjuntos definibles de una estructura cualquiera. Es una función que toma valores en ordinales y se comporta como una especie de dimensión. Para el caso de una estructura de grupo, si asumimos que el rango toma valores en los naturales, obtenemos un "Grupo de rango de Morley finito" y mostraremos que éstos se pueden introducir de forma axiomática como "Grupos con dimensión" y por tanto se pueden estudiar, sin asumir la teoría de modelos, desde un punto de vista algebraico y geométrico. Mostraremos que un ejemplo importante de grupos con dimensión son los grupos algebraicos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado con la dimensión de Zariski de la geometría algebraica. Mostraremos también que muchas de las propiedades estructurales de éstos grupos son heredadas por los grupos con dimensión (= grupos de rango de Morley finito). Esto motiva la Conjetura de Cherlin-Zilber: Sea G un grupo infinito simple de rango de Morley finito, entonces G es isomorfo a un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Algo más de la mitad de la conjetura ha sido probada. Haremos un resumen de los avances que se han hecho. Algunos detalles de resultados recientes se darán en el mini-curso que dictará el Prof. Adrien Deloro las próximas dos semanas.

Explicaré, con ejemplos, un método de integración usando la transformada de Mellin-Barnes.

En esta charla vamos a hablar, de manera informal, un poco sobre los sistemas dinámicos: qué son, por qué son interesantes en sí mismos y para otras áreas de las matemáticas. Después de una introducción para motivar su estudio y una descripción de algunos usos de los sistemas dinámicos, hablaremos de un concepto central en el área, es decir la idea de la renormalización. Esta "maquina del tiempo" se ha demonstrato muy importante en muchos problemas distintos. Nuestro enfoque será en el estudio de las rotaciones del circulo (y su relación con las fracciones continuas). Si hay tiempo, discutiremos también sobre sus generalizaciones en los cambios de intervalos.

Las condiciones de estabilidad introducidas por Bridgeland se han convertido en la herramienta moderna para estudiar cirugías de espacios parámetro de haces coherentes sobre variedades algebraicas. En esta charla motivaré la definición de condición de estabilidad en una categoría abeliana a travez de varios ejemplos relacionados con espacios de representaciones de grafos multidirigidos y haces vectoriales sobre superficies de Riemann.

A lattice is a discrete additive subgroup of n-dimensional Euclidean space. Lattices have connections to many areas of mathematics, including Number Theory, Lie Groups, and Coding Theory. In the real world, lattices have been used in engineering for communication and quantization for decades. Various invariants of a lattice can tell us how awesome or terrible a given lattice is for a particular purpose. For example, the sphere packing density of a lattice measures how efficiently the lattice points are packed in Euclidean space, which from a practical standpoint tells us how robust certain communication systems are against noise. In this talk, we will introduce some basic invariants of lattices, and show how to construct lattices using Algebraic Number Theory which have particularly nice properties. This talk is appropriate for all ages.

In the first part of the talk we introduce the concepts and give an overview on results connecting dimension theory of partial orders with planarity of graphs. In the second part we sketch two proofs with emphasis on the tools. The first proof is based on Schnyder woods and the second on grid intersection graphs.

Las redes sociales y el Big Data han transformado nuestro mundo en ciberespacio y espacio real interconectados. Los investigadores ahora pueden rastrear, monitorear y mapear la propagación de movimientos sociales, brotes de enfermedades y eventos demográficos mediante la recopilación digital de medios sociales y Big Data con contenidos de ubicación, como etiquetas del sistema de posicionamiento global y perfiles de ubicación de usuarios. Las características dinámicas de los medios sociales y Big Data proporcionan una gran oportunidad de investigación para los científicos sociales, como los demógrafos, para mapear y analizar los comportamientos humanos. Sin embargo, existen muchos desafíos y dificultades para la investigación social asociada con el análisis espacio temporal de los contenidos de las redes sociales y el Big Data. Esta presentación abordará los desafíos de investigación importantes y las oportunidades principales para los científicos sociales (con énfasis en los ejemplos de demografía) para que Big Data y las redes sociales sean útiles.