Coloquio de Matemáticas

En esta charla, estudiaremos métodos de la geometría aritmética utilizados para resolver ecuaciones diofánticas. Nos centraremos, en particular, en ecuaciones de Fermat generalizado y en la manera en que los grupos triangulares aparecen de forma natural en su estudio. Explicaremos cómo estas conexiones permiten traducir preguntas sobre soluciones racionales en problemas geométricos y aritméticos sobre curvas algebraicas.

Consider the eigenvalues of the Laplacian on a domain in Euclidean space, with either Dirichlet or Neumann boundary conditions. In the 1950s, George Pólya conjectured that these eigenvalues obey a striking inequality, which holds uniformly for all domains and all eigenvalues. Pólya himself quickly proved the inequality... but only for domains which tile Euclidean space. The general conjecture has remained open, even for simple non-tiling domains such as the ball. In this talk, I will explain the conjecture and then discuss recent progress, including a proof in the case of Euclidean balls. This work is joint with Nikolay Filonov (St. Petersburg State U., Russia), Michael Levitin (U. of Reading, UK), and Iosif Polterovich (U. de Montreal, Canada).

The centroid is a fundamental notion of center: it represents the center of mass in mechanics, the mean in probability and statistics, and a basic descriptor in data analysis and imaging. This talk asks what happens to the centroid when a high-dimensional convex body is viewed through a lower-dimensional slice or shadow. Surprisingly, neither operation generally preserves it. We present three sharp results. Sections through the centroid satisfy an optimal bound on their imbalance; the projection of a centroid and the centroid of the projection differ by at most about 20.2% of the relevant width; and, in sufficiently high dimensions, a body may have only one central hyperplane section sharing its centroid. The emphasis will be on the geometric ideas behind these results, including first moments, concavity, symmetrization, and spherical transforms.

La geometría Lorentziana proporciona el marco matemático de la relatividad general de Einstein. Motivados por la aparición de singularidades y fenómenos de baja regularidad, Kunzinger y Sämann introdujeron en 2018 la teoría de los espacios de longitud Lorentzianos, una formulación sintética de la geometría del espacio-tiempo. En esta charla presentaré algunas ideas centrales de esta teoría y un reciente teorema de splitting para espacios de longitud Lorentzianos con curvatura no positiva en un sentido sintético. Este resultado es trabajo en conjunto con Barton, Gieger, Röhrig (U. de Viena), Beran (U. de Cardiff) y Rott (SISSA).

Decimos que una teoría completa (T) tiene la propiedad de Schröder-Bernstein, o simplemente la propiedad-SB, si dos modelos cualesquiera (M) y (N) de (T) que son elementalmente bi-sumergibles son necesariamente isomorfos. El propósito de esta charla es estudiar la propiedad-SB para teorías métricas, como espacios de Hilbert, las álgebras de probabilidad y algunas expansiones de estas estructuras. Adicionalmente, buscaremos comprender cómo se comporta la propiedad-SB bajo el proceso de randomización (Keisler's randomizations), una forma natural de transformar estructuras discretas de primer orden en estructuras métricas descritas en un lenguaje continuo. Este trabajo es conjunto con Alexander Berenstein.

This work introduces a model for the prevention and mitigation of cyber risks in networked systems using a risk-averse approach based on spectral criteria. An initial graph is subject to external cyber attacks, modeled by a Susceptible-Infected-Susceptible (SIS) Markov process with controlled infection and recovery rates. We consider the problem of minimizing the risk associated with the evolving structure of the network by employing self-protection and self-insurance efforts, as well as purchasing insurance coverage. We introduce spectral criteria—dependent on the eigenvalues of the graph Laplacian at final time T—for which we establish monotonicity in the sense of first-order stochastic dominance and continuity with respect to the Wasserstein distance. This framework enables us to prove the existence of minimizers for two general optimization problems under consideration: the cases of global and local self-protection. We illustrate our theoretical findings by numerical simulations.

Se mostrará el proceso de adaptar la distancia de Wasserstein al problema de dos muestras no paramétrico para muestras multivariadas de tamaño grande, mediante el uso de particiones dependientes de los datos y el uso de la divergencia de Sinkhorn (una versión penalizada de la distancia Wasserstein) y gracias al uso de pruebas de permutación, se garantiza aplicaciones computacionales factibles. Adicionalmente, se comparan diferentes estadísticos basados en estas técnicas sobre datos simulados, y se presenta la distribución asintótica del estadístico subyacente para el estadístico.