En esta charla damos una introducción a procesos de Lévy y la extensión a puentes de Lévy, que representan procesos de Lévy condicionados a terminar en un punto dado en un tiempo dado. Después introducimos el principio de grandes desvíos, primero en el contexto de la ley de los grandes números y después en el contexto del movimiento Browniano (Teorema de Schilder) y procesos de Lévy. Por último, formulamos un resultado reciente para puentes de Lévy con incrementos tipo Weibull sobre escalas cortas de tiempo. Este es trabajo es una colaboración con T. Wetzel, Berlín.

Un problema importante en geometría enumerativa es contar curvas racionales que interpolan una configuración de puntos en una superficie algebraica (por ejemplo, en el plano). Sobre los números complejos, la respuesta no depende de la configuración de puntos y se denomina invariante de Gromov-Witten. En contraste, sobre los números reales, esta invarianza falla. Para recuperarla, Welschinger ideó una regla ingeniosa de «signos», dando lugar a las invariantes de Welschinger. Recientemente, Kass, Levine, Solomon y Wickelgren construyeron una invariante sobre un cuerpo (casi) arbitrario. El pequeño «inconveniente» es que estas últimas invariantes ya no son números, sino formas cuadráticas. En un trabajo actual con Erwan Brugallé y Kirsten Wickelgren, establecemos relaciones directas entre estos diferentes tipos de invariantes. En mi charla, quiero dar una introducción a este tema.

Estudiamos técnicas de convexificación para problemas de optimización cuadrática convexa con penalizaciones escalonadas. Mostramos que estos problemas pueden modelarse como programas cuadráticos enteros mixtos, en los que variables binarias representan la naturaleza no convexa de la función escalón. Usando técnicas de optimización discreta, construimos formulaciones convexas/cónicas para el problema de máquinas de soporte vectorial con pérdida 0–1, construyendo estimadores robustos en presencia de anomalías y valores atípicos.