Muchos problemas combinatorios vienen en familias parametrizadas por dos números naturales que juegan papeles distintos. Por ejemplo, ¿cuantas particiones hay del número n en q partes? ¿Cuántas coloraciones propias hay del grafo de un retículo de q x q con n colores? ¿Cuantos conjuntos hay de q números entre 1 y n tales que todas las diferencias de pares de los números son distintos? ¿Cuántas formas hay de colocar q reinas en una tabla de n x n tal que ningún par de reinas se atacan entre sí?
Chaiken, Hanusa, y Zaslavsky demostraron que la respuesta a la última pregunta es una función del siguiente estilo. Para cada valor fijo de q, es un cuasi-polinomio (es decir, oscila periódicamente entre finitos polinomios) en n de grado 2q. Y para cada r fijo, ¡el coeficiente de n^{2q - r} también es un polinomio en q!
Definimos una clase de funciones de este estilo que llamamos polinomios o cuasi-polinomios de dos niveles. Mostramos varias propiedades algebraicas de esta clase, y usamos dichas propiedades para demostrar que la respuesta a cada problema anteriormente mencionado es un polinomio de dos niveles. Estos resultados son un trabajo conjunto con Kevin Woods.
El modelo de Kronig-Penney, basado en operadores de Schrödinger con interacciones delta, es una herramienta fundamental para describir electrones en potenciales periódicos, como los que aparecen en sólidos cristalinos, redes artificiales y sistemas de átomos fríos en redes ópticas. En esta charla, exploramos la formulación matemática de estos operadores, con énfasis en su espectro, y presentamos algunos resultados recientes de los problemas relacionados a estas interacciones singulares.
La anti-unificación, o generalización, es el problema de determinar los puntos en común entre dos expresiones. Es un problema dual al problema de unificación y es crucial en raciocinio ecuacional. Sus aplicaciones incluyen la búsqueda de regularidades en código y la detección de elementos comunes en datos. Los algoritmos de anti-unificación se utilizan en herramientas industriales dedicadas a computación paralela eficiente, detección de plagio y corrección dinámica de código. Esta charla explicará el problema de anti-unificación y presentará una verificación mecánica de un algoritmo sintáctico de anti-unificación mecanizado en el probador de teoremas interactivo PVS.
Discutiremos una interesante conexión entre la teoría de la representación del grupo unitario y dos modalidades de interferometría multipuerto en óptica cuántica: la interferometría clásica (o de fotones individuales) y la interferometría cuántica (o multifotónica).
Tres elementos son claves en esta conexión: un mapa del toro de fases relativas al simplejo de intensidades relativas, asociado a la interferometría clásica; la expansión de cualquier estado multifotónico como combinación lineal de potencias tensoriales de estados de un solo fotón; y, finalmente, el llamado teorema de Keyl-Werner, el cual establece que las potencias tensoriales de estados mixtos de una partícula se concentran asintóticamente alrededor de una componente isotípica dominante en correspondencia con el espectro del estado de una partícula. Aplicamos estos elementos al análisis de la estadística de un interferómetro multifotónico descrito por una matriz unitaria U en el régimen de muchos fotones parcialmente indistinguibles para mostrar que las distribuciones de probabilidad multifotónicas, así como los elementos de las matrices de representación de U para las componentes isotípicas dominantes, reproducen en su comportamiento promedio la imagen de la medida uniforme del toro al simplejo bajo el mapa interferométrico clásico. Esta correspondencia sugiere que, a través de interferometría multipuerto es posible explorar experimentalmente las matrices de representación para representaciones irreducibles de alta dimensión del grupo unitario.