En el marco de su programa Erlangen, Felix Klein formuló la siguiente pregunta: dadas las transformaciones modulares de grado fijo N, ¿es posible construir explícitamente una ecuación diferencial lineal con coeficientes racionales cuyas soluciones se transformen exactamente de acuerdo con esa simetría modular? Aunque G.H. Halphen fue el primero en resolver en 1878 esta pregunta para N=7, la respuesta de A. Hurwitz en 1886 fue la más seminal.
Para reformular este problema en términos modernos, utilizamos las aplicaciones de Schwarz. En esta charla me centro entonces en ecuaciones diferenciales cuyas aplicaciones de Schwarz dan lugar a curvas algebraicas compactas como clausuras de sus imágenes. Utilizando la teoría de Picard–Vessiot, explico cómo construir ecuaciones diferenciales lineales homogéneas cuyas aplicaciones de Schwarz asociadas realizan curvas modulares, lo cual ofrece una respuesta general a la pregunta de Klein. Como ejemplo concreto, presento una ecuación diferencial lineal explícita cuya aplicación de Schwarz tiene clausura proyectiva isomorfa a la curva modular X(9). Este es un trabajo conjunto con Yaacov Kopeliovich.
La universalidad es un problema básico en computación cuántica: decidir cuándo un conjunto finito de compuertas cuánticas genera, por composición, todas las operaciones necesarias para aproximar cualquier transformación unitaria con circuitos cuánticos. En este trabajo (en colaboración con Alejandro Borda y Julián Rincón del departamento de física de los Andes) estudiamos ese problema para el grupo de Clifford de un solo qudit con recursos no‑Clifford mínimos, y mostramos que la respuesta está determinada por la factorización prima de la dimensión del sistema.
Decimos que una estructura M es pseudofinita si toda propiedad de primer orden que sea cierta en M también tiene modelos finitos, o de forma equivalente, si M es elementalmente equivalente a un ultraproducto de estructuras finitas. Gracias al Teorema de Łoś, las estructuras pseudofinitas pueden presentarse de forma natural como límites estructurales de estructuras finitas, y por esto resultan ser una herramienta importante en el estudio de problemas de combinatoria asintótica desde un punto de vista modelo-teórico.
En esta charla presentaré la construcción de ultraproducto y algunos ejemplos básicos de estructuras pseudofinitas, enfocándome particularmente en ejemplos algebraicos (grupos y campos). En particular, presentaré una caracterización de grupos abelianos pseudofinitos en términos de invariantes algebraicos, y algunas preguntas abiertas relevantes en esta área.
Las inversiones a largo plazo en la Unión Europea se basan en señales de respuesta a precios zonales. Esto ha motivado el desarrollo de subastas de capacidad local que sean capaces de dirigir las inversiones a ubicaciones adecuadas de la red de transmisión. El presente trabajo, desarrollado en conjunto a la Comisión Europea, proporciona un algoritmo para seleccionar ofertas óptimas en subastas de capacidad para inversiones en renovables, considerando al mismo tiempo las limitaciones de la red de transmisión a escala del sistema eléctrico Europeo. El marco propuesto modela la selección de ofertas en subastas de renovables como un problema estocástico de expansión de capacidad en dos etapas. El algoritmo desarrollado se basa en varias reformulaciones y técnicas de descomposición, específicamente diseñado para explotar la infraestructura computacional de alto rendimiento.