El matemático francés Michel Talagrand, quien ganó el prestigioso premio Abel en marzo 2024, hizo varias contribuciones en teoría de la medida con aplicaciones en la estadística, teoría de la medida geométrica, geometría de espacios de Banach, analisis funcional, analisis global, entre otros, a lo largo de su trayectoria. En esta charla, después de una muy breve presentación de la persona de M. Talagrand, se presenta una de las ideas más influyentes asociadas a su nombre: `Generic Chaining`. Seguimos la idea inicial de su libro `Upper and Lower Bounds for Stochastic processes` (Springer, 2014) donde expone conceptualmente la idea principal y muestra cómo obtener cotas superiores óptimas para el supremo de una clase inicial de procesos que contiene muchos procesos Gaussianos a través de este concepto nuevo. Se discutirán algunas aplicaciones estadísticas a traves de la teoría de procesos empíricos.

Continuamos nuestra exposición dedicada a las técnicas de encadenamiento (“Chaining”) exhibiendo, en esta charla, una de sus aplicaciones en el contexto de procesos estocásticos en tiempo continuo. Concretamente, exhibiremos la prueba de Ledoux y Talagrand (1991) de un teorema de suficiencia para la continuidad uniforme de los caminos muestrales de un proceso estocástico que satisface ciertas condiciones “naturales” de encadenamiento, las cuales se verifican, en particular, bajo desigualdades maximales de tipo Orlicz, cuyo significado será también objeto de esta exposición.

Famously mathematical finance was started by Bachelier in his 1900 PhD thesis where - among many other achievements - he also provides a formal derivation of the Kolmogorov forward equation. This forms also the basis for Dupire’s (again formal) solution to the problem of finding an arbitrage free model calibrated to the volatility surface. The later result has rigorous counterparts in the theorems of Kellerer and Lowther. We revisit these hallmarks of stochastic finance, highlighting the role played by some optimal transport results in this context. Joint work with Mathias Beiglb¨ock and Gudmund Pammer.

En esta charla, exploraré de manera introductoria la rica estructura de las álgebras de Hopf y su interacción con categorías monoidales, que poseen una estructura algebraica similar a la de un monoide. Las álgebras de Hopf tienen una amplia gama de aplicaciones en áreas tan diversas como la física matemática, la combinatoria e incluso la lógica, de las cuales mencionaré algunas. Además, mostraré cómo las acciones de estas álgebras capturan simetrías en objetos no conmutativos, ofreciendo nuevas perspectivas en la teoría de representaciones y en geometría no conmutativa. Finalmente, compartiré algunas de las líneas actuales de investigación en el área, junto con algunos de los resultados más recientes de mi trabajo.

El espacio de elementos de contacto del plano es el conjunto de pares (A, l), donde A es un punto del plano y l es una recta que pase por A. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) determina una superficie en el espacio de elementos de contacto del plano. La transformada de Legendre es una transformación del espacio de elementos de contacto que manda las soluciones de EDO a las soluciones de EDO transformada. Una variedad afín es una variedad diferenciable que admite un atlas con cambios de coordenadas afines. Bajo ciertas condiciones una variedad afín es el cociente de espacio afín por una acción libre de subgrupo discreto del grupo de transformaciones afines. El objetivo de la charla es explicar el sentido geométrico de la transformada de Legendre, elementos de la teoría de variedades afines y generalizar la transformada de Legendre a esta clase de variedades.

Self-adjoint operators play a crucial role in quantum mechanics and functional analysis, particularly in the study of unbounded operators in Hilbert spaces. However, many symmetric operators are not initially self-adjoint, leading to the challenge of finding appropriate self-adjoint extensions. This talk explores the theory of self-adjoint extensions, focusing on my recent work on the indefinite Laplacian in the framework of quasi-boundary triples.

Las Desigualdades Integrales se han convertido en los últimos años, en una de las áreas matemáticas que más han concitado la atención de investigadores mnatemáticos, tanto puros como aplicados, en particular, esto se ha visto ponderado en el caso de aquellas desigualdades vinculadas a la noción de convexidad. En esta charla, después de la presentación de varias desigualdades asociadas a la definición clásica de funciones convexas, se presenta un desarrollo actual en varias direcciones de trabajo, haciendo hincapié en las extensiones y generalizaciones obtenidas por nuestro grupo.

This talk Is geared towards students. We will define when a convex body floats in equilibrium and discuss how to find all such directions of equilibrium for a given convex body.

Las matemáticas juegan un papel esencial en el desarrollo científico, tecnológico y cultural de la humanidad. Sin embargo, son percibidas por muchos como difíciles y distantes de lo sensible o fascinante. En esta charla, compartiré experiencias en exposiciones museográficas de matemáticas, diseñadas para crear un acercamiento diferente a esta disciplina. Algunas de estas exposiciones están orientadas hacia la divulgación científica, mientras que otras exploran el cruce entre matemáticas y arte. Presentaré fotos y dispositivos especiales que se han montado, y discutiré su importancia, el impacto logrado y los desafíos que han surgido. También hablaré sobre proyectos recientes, como el Museo Virtual de Matemáticas, una plataforma digital que permite explorar conceptos matemáticos de manera interactiva y accesible desde cualquier lugar.

La construcción de ultraproductos es una forma de tomar un límite estructural de una clase dada de estructuras de primer orden. Comenzanco con una clase de estructuras finitas $\mathcal{C}$ y un ultrafiltro no-principal sobre $\mathcal{C}$, se obtiene una estructura (posiblemente infinita) $ que satisface las mismas propiedades de primer orden que se cumplen asintóticamente en las estructuras $\mathcal{C}$. Decimos que una estructura $ M$ es pseudofinita si toda propiedad de primer orden válida en $ M$ también es válida en alguna estructura finita. En esta charla presentaré algunos ejemplos de estructuras pseudofinitas y algunas aplicaciones a resultados en combinatoria que pueden surgir de analizar ultraproductos de estructuras finitas. También daré una descripción parcial de aquellos árboles (grafos acíclicos) contables que son pseudofinitos.

The celebrated Helly's theorem is a cornerstone of convex and discrete geometry, with numerous extensions and generalizations. It states that if, in a finite family of convex sets in $\mathbb{R}^d,$ every subfamily consisting of at most $ d+1$ sets has a non-empty intersection, then all the sets in the family share at least one common point. In this talk, we will discuss quantitative versions of Helly's theorem, as well as their colorful counterparts. In a series of recent papers with Márton Naszódi, we developed an elementary geometric approach to achieve such quantitative results. Remarkably, many of the best-known results to date rely solely on basic convexity and linear algebra.