Consideramos un operador lineal S en un espacio de Banach X
cuyo espectro no intersecta el eje imaginario. Vamos a mostrar criterios
sobre el operador S tal que el espacio X permita una descomposición en
subespacios que son invariantes bajo el operador S y tal que el espectro
de las restricciones de S a estos subespacios esté contenido o en el
semiplano izquierdo o en el semiplano derecho complejo.
Soap bubbles are a serious topic in mathematics and one with lots of applications. The show will include a little
guessing contest with demonstrations, explanations, and prizes. All students welcome.
In this talk, I will discuss the fundamental ideas of noncommutative geometry.
The idea of noncommutative geometry is, in fact, very simple. Noncommutative
geometry is based on one of the most key ideas in mathematics,
correspondence between algebra and geometry, according to which, a concept in
the algebra corresponds to a dual concept in the geometry. I will focus on noncommutative
geometry based on Connes' development in the early 80's, which is
based on Gelfand-Naimark correspondence for commutative (C*-)algebras and
locally compact Hausdorff spaces. Noncommutative geometry concerns the dual to noncommutative
(C*-)algebra. By this duality, many concepts from commutative
algebras can be used as definitions of those concept such as functions
on the space, integra or even vector bundles. Some of these dualities will be
explained in my talk.
Over a hedge fund comprising one risky asset and a risk-free bond, we model a hedge
fund manager's wealth and the corresponding investor's wealth, both subject to the hedge fund
special reward scheme. Using stochastic control techniques, we maximise the expected utility
of wealth of the manager controlling the percentage invested in the risky asset, and obtain the
utility of wealth of the investor under the decisions made by the manager. Comparisons with risk-free
investment suggests that, in some cases, the investor is paying more to the manager than the return
he is perceiving for having the hedge fund. We propose a new hedge fund contract where the investor
has the option to reinvest in the fund, so we model this reinvestment as a strategic game between the manager
and investor and we found that the investor inflows even in hedge funds with low rate of returns. Besides,
we spot by comparing the two types of contracts for the investor that the option to inflow money can have lower utility.
La estrecha relación entre la geometría analítica compleja y la geometría
algebraica sobre los complejos es lo que se conoce formalmente como el principio GAGA (Géométrie Algébrique
et Géométrie Analitique).
La teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales busca aprovechar
esta relación para estudiar las ecuaciones diferenciales usando métodos algebraicos.
En esta charla haré un sobrevuelo sobre la teoría de Picard-Vessiot
(teoría de Galois para ecuaciones diferenciales lineales ordinarias)
para caracterizar las ecuaciones cuyas soluciones producen las funciones necesarias
para parametrizar curvas algebraicas proyectivas. De esta forma logramos unir los dos paradigmas de estudio de curvas:
por un lado, lugares geométricos unidimensionales descritos por soluciones de ecuaciones,
y por el otro, objetos geométricos parametrizados por funciones de una sola variable.
This colloquium talk is basically dedicated to an introduction to random dynamical systems
and applications to stochastic differential equations (SDEs). We shall start by motivating the
study of random dynamical features such as synchronization and Lyapunov exponents for SDEs
by time series analysis. Then we will introduce the notions of a random dynamical system,
weak random attractor, weak synchronization and Lyapunov exponents. In the sequel we will
show very recent sufficient results by Gess, Flandoli and Scheutzow for a negative top Lyapunov
exponents for SDEs with Brownian noise, which essentially implies weak synchronization. After
this we will give an introduction to Lévy processes and show first results on the existence of a
negative top Lyapunov exponent. The last results are work in progress with B. Gess from the
Max-Plack Institute in Leipzig, Germany.
En la charla se presentan y discuten diferencias entre acepciones
del razonamiento cuantitativo en el terreno de la evaluación de las competencias del siglo XXI,
también llamadas competencias genéricas. La discusión se ilustra con ejemplos de preguntas
y ejercicios de evaluación. Finalmente se presenta una propuesta de definición que acerca
el razonamiento cuantitativo a lo que se llama pensamiento científico y que se puede considerar
del nivel apropiado para la educación superior.
Nonlinear expectations, as introduced by S. Peng, are deeply related to monetary risk measures
and of great interest in modern finance. Nonlinear expectations are used to describe prices of
contingent claims under model uncertainty or in incomplete markets. The most prominent examples
of such expectations are the g-expectation and the G-expectation which can be obtained from solutions
of stochastic optimal control problems under drift uncertainty and volatility uncertainty, respectively.
In this talk, we will demonstrate how the G-expectation can be constructed from a nonlinear PDE, the
G-heat equation, using a semigroup-theoretic approach and a nonlinear version of Kolmogorov’s extension theorem.
Finally we will discuss how these techniques can be generalized to construct nonlinear Lévy processes from nonlinear PDEs.
¿Cómo resolver una ecuación diferencial ordinaria F(x, y, y') = 0?
Resulta que los "trucos mágicos" que usamos para resolver varios tipos de ecuaciones diferenciales
al fondo tienen la misma base: existencia de un simetría.
¿Pero qué es una simetría de ecuación diferencial y cómo usar las simetrías para encontrar soluciones?
Veremos que la geometría diferencial nos ayuda a responder a esta pregunta en una manera muy natural.
Entonces, en la charla vamos a presentar una descripción geométrica de las ecuaciones diferenciales,
explicar cómo encontrar sus simetrías y mostrar ejemplos prácticos de usar las simetrías para resolver ecuaciones diferenciales.
Una de las preguntas más importantes y difíciles de
responder para los economistas es: ¿porqué hay unos países que
progresan mientras otros permanecen estancados en la pobreza?.
Para tratar de entender el problema y acercarnos quizá a una
explicación usando herramientas matemáticas usamos
dos modelos, uno epidemiológico y otro económico.
Mediante un acoplamiento de estos modelos se logra obtener un equilibrio de
esta economía simplificada, para luego encontrar que existe un ahorro
óptimo que maximiza el producto per-capita de una economía que está
sujeta a la presencia de enfermedades infecciosas.
Sea r_k(n) el número de formas de colocar k torres en una tablero de
ajedrez de tamaño n x n tal que ninguna torre ataque a otra. Los
polinomios de torres R_0, R_1, R_2,... se definen por
R_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k r_k x^{n-k}.
Demostraremos por métodos combinatricos que esta familia de
polinomios es (hasta normalización) una de las pocas familias clásicas
de polinomios ortogonales: los polinomios de Laguerre. Esta charla no
contendrä resultados orginales.
Un grupo topológico es un grupo con una topología que hace que
la operación de grupo y la inversa sean continuas.
Al tener dos estructuras, una algebraica y otra topológica,
una puede preguntar que tanto coinciden. En particular, cuando los homomorfismos
de grupos son continuos. En general esto no es cierto, y hay pocas herramientas
para determinar cuando lo es. Una de las herramientas más útiles fue desarrollada
por Kechris y Rosendal y tiene que ver con propiedades globales de la acción
de conjugación del grupo sobre sí mismo. Daremos una introducción a estos
temas y finalmente hablaremos de un resultado en conjunto con A. Berenstein.
En 1924 André Bloch demostró el siguiente hecho sorprendente y que
ahora se enseña en algunos cursos de variable compleja:
Sean B⊂C el disco unitario complejo abierto y f: B→C una
función holomorfa tal que f'(0)=1 y f(0)=0.
Existe una constante β>0 tal
que existen Ω ⊆ B y un disco D⊂C de radio β
tales que f: Ω→D es una biyección.
El valor óptimo de β aún se desconoce y se le denomina constante de Bloch.
En esta charla daremos una nueva demostración del Teorema de Bloch usando métodos de
punto fijo, y mostraremos un posible camino para mejorar las mejores cotas por debajo que
las existentes en el mercado de hoy. Este es trabajo conjunto con Julio Montero.
A convex polytope is the convex hull of a finite set of points in a finite dimensional real vector space. The combinatorics of a polytope is embodied by the partially ordered (by inclusion) set of its faces (vertexes, edges, etc.) Certain combinatorial invariants called the g- and the h-numbers were introduced by R. Stanley who stated conjectures concerning their properties motivated by the "dictionary" relating rational convex polytopes (i.e. those whose vertexes have rational coordinates) to projective toric varieties. Up until fairly recently Stanley's conjectures (as well a number of other conjectures concerning the properties of g- and h-numbers of convex polytopes) were proven for rational polytopes using the above mentioned relationship to toric varieties in conjunction with (very difficult) results on the topology of singular varieties. In my talk I will present some recent developments in this subject culminating in the proof of Stanley's conjectures.