An algebraic variety is the set of solutions of a system of polynomial equations. It can be regarded as a geometric object, and we would like to introduce geometric notions like distance and curvature. To do so we need the notion of a metric. However, there are many different metrics we could choose. Infinitely many. What are they? Do they themselves form an interesting space? I will discuss this in the context of complex projective varieties.

Los números p-ádicos, introducidos por Hensel a finales del siglo XIX, han jugado un papel crucial en la teoría de números moderna. Así como los números reales, los números p-údicos tienen una topología natural asociada a una norma, en este caso, la norma p-ádica. Sin embargo, a diferencia del caso real (y complejo), la topología es totalmente discontinua. Esta diferencia hace que muchos resultados clásicos de la geometría real y compleja no tengan una contraparte en este contexto. En particular, la teoría de las funciones holomorfas sobre dichos campos requiere un tratamiento especial. En esta charla hablaré de una de las alternativas de atacar este problema: los espacios de Berkovich. Si el tiempo alcanza, discutiré algunos resultados obtenidos por Hrushovski y Loeser sobre dichos espacios utilisando métodos modelo-teóricos. .

Moduli problems are classification problems in algebraic geometry whose solutions are given by moduli spaces. These moduli spaces are often constructed as a quotient of a group action via geometric invariant theory. In this talk, I will explain how to construct quotients in algebraic geometry, where our primary motivation is to construct moduli spaces as such quotients. I will take an example-based approach to the theory and, in particular, focus on the example of moduli of vector bundles over a smooth projective algebraic curve. If there is time, I will also explain some techniques for studying the geometry of these moduli spaces.

In 1966 Marc Kac famously asked if one could hear the shape of a drum. In more technical language, Kac was asking whether two planar domains could be isospectral (i.e., have the same spectrum with respect to the Laplace operator) but not isometric. In 1980 Vigneras used orders in quaternion algebras in order to prove the existence of hyperbolic surfaces which were isospectral but not isometric. Thus one cannot hear the shape of a hyperbolic drum. The example appearing in Vigneras' original paper was a pair of manifolds of genus 100801. We will exhibit substantially simpler examples: a pair of genus 6 manifolds and a pair of orbifolds whose underlying surface has genus 0. This is joint work with John Voight.

We study sum of squares (SOS) relaxations to optimize polynomial functions over a set $\mathcal{V}\cap \mathbb{R}^n$, where $\mathcal{V}$ is a complex algebraic variety. We propose a new methodology that, rather than relying on some algebraic description, represents $\mathcal{V}$ with a generic set of complex samples. This approach depends only on the geometry of $\mathcal{V}$, avoiding representation issues such as multiplicity and choice of generators. It also takes advantage of the dependencies in the coordinate ring of $\mathcal{V}$ to reduce the size of the corresponding semidefinite program (SDP). In addition, the input can be given as a straight-line program. Our methods are particularly appealing for varieties which are easy to sample from but for which the defining equations are complicated, such as $SO(n)$, Grassmannians or rank~$k$ tensors. Nonetheless, for arbitrary varieties we can obtain the samples by using the tools of numerical algebraic geometry. In this way we connect the areas of SOS optimization and numerical algebraic geometry.

In this talk, we will discuss some of our recent results concerning the proof of sum rules that uses large deviations properties of spectral measures built on random matrices. Roughly speaking, a sum rule is an identity relating the Kullback information to a function of coefficients involved in the construction of orthogonal polynomials. One of the most famous sum rule is the Szego Verblunsky Theorem.

In the first part of this talk, we will present the notion of Fréchet means in the Wasserstein space. In particular we will explain how to define a natural notion of mean when the mathematical objects considered are probability measures. In the second part of this talk, we will explain how we can use the pseudo Riemannian structure of the Wasserstein space to perform a geodesic PCA of a collection of probability measures.

Una curva trigonal $C$ es una curva compleja en una surperficie reglada tal que la restrictión de la proyección a la curva es un morfismo de grado 3. Construimos un morfismo auxiliar de tipo $j$-invariante con el fin de asociar a la curva $C$ un dessin, una versión real propuesta por Orevkov de los dessin d'enfants introducidos por Grothendieck en los 80's. En este coloquio, enunciaré una versión moderna de la primera parte del 16ndo problema de Hilbert como una motivación historica para la clasificación de curvas algebraicas reales modulo isotopía rigida. Explicaré como el estudio de las clases de equivalencia de dessins nos permite obtener información sobre las clases de deformación de curvas trigonales reales. Finalmente, presentaré como aplicar estos metodos combinatorios con el fin de obtener una clasificación de curvas planas genericas de grado 5 modulo isotopía rigida.

Veremos cómo definir la intersección algebraica int(alpha, beta) de dos curvas cerradas alpha y beta en una superficie orientable X. Veremos que la intersección algebraica induce una forma bilineal anti-simétrica en el primer grupo de homología de X, un objeto algebraico que contiene información topológica sobre X. Luego, considerando la longitud como un costo y la intersección como un beneficio, trataremos de optimizar la cantidad Int(alpha,beta)/(longitud(alpha)longitud(beta)). Nos enfocaremos en las superficies mas homogéneas: las cuya geometría local es euclidiana o hiperbólica.

El anélisis de Fourier clésico permite descomponer funciones periódicas en series de potencias, lo que corresponde a "discretizar" tales funciones en términos de las representaciones unitarias irreducibles del círculo. Tal procedimiento puede ser generalizado al caso de un grupo de Lie compacto arbitrario, dando lugar a un análisis armónico no conmutativo que permite, por ejemplo, simplificar cálculos asociados a la solución de ecuaciones diferenciales sobre estos espacios y/o de invariables espectrales sobre ellos. Durante esta charla recordaremos los principios fundacionales de esta teoría y algunas aplicaciones recientes.

Two algebraic varieties are said to be birational if their fields of functions are isomorphic. Roughly speaking, the minimal model program studies how to choose “good” representatives in a birational class. On the other hand, on any smooth projective complex variety there are parameter spaces classifying vector bundles of fixed topological invariants (Chern classes) and satisfying certain numerical condition called stability. It is expected that while perturbing the stability condition, the parameter spaces undergo a sequence of surgeries that do not change their function fields. In this talk I will explain how to vary stability conditions correctly: varying the numerical condition and allowing complexes of vector bundles. This type of stability was introduced by Bridgeland in an effort to formally study \Pi stability for D-branes in string theory. When the base variety is a surface, this method has been proven to be effective in obtaining all the birational models of the parameter space. When the base variety has dimension at least 3, there are only conjectural constructions of Bridgeland stability conditions that fail in general. If time allows, I will present some counterexamples.

Dado un anillo R y una base {b_i}, las constantes de estructura de esta base son los coeficientes obtenidos al expresar el producto b_ib_j como combinación lineal de esta misma base. En esta charla veremos dos ejemplos canónicos de esta situación: una en donde el anillo R es el anillo de funciones simétricas con la base de Schur; y otra con el anillo de polinomios y la base de Schubert. Ilustraremos parte de la combinatoria detrás de éstas bases usando particiones en el caso de Schur y permutaciones en el caso de Schubert. En particular, mostraremos el rol del poset de diagramas de Ferrer y el rol de un poset de permutaciones en la búsqueda de estas constantes de estructura. Si el tiempo permite, daremos un vistazo al orden cuántico de Bruhat y veremos cómo usarlo para entender constantes de estructura de versiones cuánticas de los dos casos anteriores. El caso cuántico es trabajo conjunto con Bergeron, Colmenarejo, Saliola y Sottile.

Private Information Retrieval (PIR) asks the question of how to retrieve a file from a database without revealing the identity of the requested file, and has applications to retrieving medical, financial, and other sensitive data. Modern-day data centers store data in a distributed manner over several servers, adding redundancy to protect against server failure, which any approach to PIR must take into account. We will present such an approach to PIR which uses techniques from Coding Theory, a branch of applied mathematics which studies how to add redundancy to data to improve reliability in communications and storage. The most central object in Coding Theory is a linear code, which is a linear map encoding bit strings of length k into bit strings of length n to add redundancy to data. The central result we will present connects the efficiency of certain PIR schemes with fundamental invariants of certain linear codes. We will discuss related open problems in Coding Theory and Information Theory, which should be accessible to interested students. No familiarity with Coding Theory is assumed, and the basics will be introduced as needed.

Compact holomorphic symplectic manifolds have been intensively studied since the early 80s. Soon it became clear that they play an important role in the classification of algebraic varieties. They have a rich structure theory and much is known on the theoretical side. However, we do not know overwhelmingly many examples and the search for new examples is one of the main problems in this area. We present a recent construction that involves a lot of nice classical algebraic geometry and generalizes the beautiful construction of Beauville and Donagi from 1985. All of this is joint work with M. Lehn, C. Sorger, and D. van Straten.

I will give a non-technical (and physical) motivation for noncommutative geometry and illustrate the general ideas by explaining how certain geometric concepts can be transferred to noncommutative algebras; in particular, we take a brief look at connections and curvature.

The Lagrange spectrum is a classical object in Diophantine approximation, the area that studies how well one can approximate real numbers by rational ones. It has been studied intensively since its introduction in the second half of the 19th century and it has also been generalized to many different contexts. In particular, we will be interested to its generalization to hyperbolic surfaces. We will present the analogous of a classical result on the structure of the Lagrange spectrum, due to Hall, to this more general context.
This is based on a joint work with Luca Marchese and Corinna Ulcigrai.

En esta charla explicaré cómo analogías entre los enteros y el anillo de polinomios permiten descubrir y probar, basados en conexiones entre objetos que a simple vista parecen muy distintos, nuevos resultados. Con este fin en mente veremos cómo el teorema chino del residuo nos lleva al teorema de interpolación de Lagrange, cómo un resultado sencillo sobre polinomios lleva al enunciado de la conjetura ABC y, si el tiempo lo permite, cómo uno un teorema sobre la aritmética de las curvas elípticas inspiró uno de mis resultados sobre funciones zeta de Dedekind.

El objetivo de la charla es mostrar algunos problemas abiertos relacionados con las particiones de conjuntos y sus generalizaciones. En particular hablaremos de la conjetura de Brenti acerca de la unimodalidad para particiones de conjuntos con restricciones, la conjetura de Wilf para los números de Bell complementarios, la conjetura de Radoux sobre la peridiocidad de los números de Bell. Finalmente mostraremos algunos problemas relacionados con los polinomios de poly-Bernoulli y las lonesum matrices.

Se presentan algunas propiedades básicas del movimento browniano standard y se introduce el movimiento browniano Z(t) en el plano, mostrando algunas de sus características específicas propias de la dimensión 2. En particular, se define el proceso θ(t), definido como la determinación continua de arg(Z(t)). Resolviendo por téecnicas elementales la ecuación diferencial asociada a la densidad conjunta del radio R(t) y θ(t), se deduce una fórmula para la densidad de θ(t), que permite establecer con detalle el comportamiento asintótico de θ(t) cuando t→∞. En particular, se obtienen correcciones de cualquier orden para la ley de Spitzer así como un teorema de límite local para el proceso θ. Como aplicación, se calcula la distribución del tiempo de salida de Z(t) de una región angular cualquiera, y se relaciona ésta con la distribución del máximo de la hoja browniana en un cuadrado.

TBA.

Vamos a determinar cotas superiores y explicitas de los valores propios del operador p-Laplaciano ponderado definido en un grafo conexo de longitud finita. También será tratado el caso del operador fraccionario p-Laplaciano ponderado.