The proper investment of capital is one of the most consequential decisions for any financial company. There are many ingredients contributing to the complexity of this decision: an increase in stochastic factors driving market prices, the subsequent boost in parameter uncertainty, a strengthening of international and local regulations, the development of exotic customized products, just to mention a few. This presentation describes some of these challenges starting with basic models and existing theories. We use a combination of mathematical and financial concepts, including but not limited to expected utility theory, stochastic volatility processes, and optimal control. Closed-form solutions to some of these problems are presented with an emphasis on their financial implications and benefits, some open problems and promising new approaches are briefly motivated.
En esta charla daré una introducción a las expansiones o-minimales del campo real: una manera de aumentar la estructura de campo con algunas funciones analíticas que preservan varias de las buenas propiedades de las variedades algebraicas. Aunque es un concepto de teoría de modelos, o-minimalidad ha tenido aplicaciones en geometría algebraica, teoría de números y geometría aritmética.
La idea es introducir el concepto, comentar sobre algunas aplicaciones para dar una idea de por qué ha sido útil en varias ramas de matemáticas, y enfocarme luego en la relación que hay entre o-minimalidad y Grupos de Lie.
Resumen: En optimización estocástica se busca minimizar una función que depende tanto de la variable de decisión como de una variable aleatoria. Cuando la distribución de la variable es desconocida, una opción es usar el enfoque distribucionalmente robusto que busca minimizar el peor caso posible dentro de un conjunto de distribuciones. Ahora, en muchas ocasiones se tiene acceso a una muestra de la variable aleatoria y es por esto que en la última década se ha estudiado el caso en el que conjunto de distribuciones se escoge como una bola, con centro la distribución empírica dada por los datos, usando la métrica de Wasserstein. Adicionalmente, en esta charla también hablaremos sobre una nueva formulación en la que se involucra la variable de decisión en la descripción del conjunto de distribuciones. Este es un trabajo conjunto con Diego Fonseca.
El Abstract se encuentra como documento adjunto
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Para datos que vienen en streaming, se hace difícil distinguir entre nuevos datos con comportamiento típico y eventos anómalos debido a la gran velocidad y cantidad de datos. En esta charla, se pretende presentar un novedoso método para la detección temprana de anomalías en una señal (series de tiempo, imágenes y videos) basado en herramientas de análisis y estadística. Este método es no paramétrico, trabaja de manera en línea (”Streaming Data”), trabaja con datos no estacionarios (Concept Drift) y es robusto bajo ruido Gaussiano; además, no necesita datos de entrenamiento.
Se presentarán las herramientas matemáticas necesarias para la construcción del método mencionado. Por un lado, se presentará la transformada de wavelet como una generalización de la transformada de Fourier. A diferencia de la transformada de Fourier, la transformada de wavelet permite descomponer una señal en frecuencia-tiempo y no solamente en sus frecuencias. Por otro lado, se presentará una herramienta de aprendizaje estadístico llamada Núcleo de Estimación de Densidad en línea (oKDE), la cual utiliza la distribución delta de Dirac para construir una distribución multi-Gaussiana a partir de cada punto de entrada de la señal. En este caso, el ancho de banda es calculado de manera dinámica y cuyas componentes permanecen finitas debido a un método de compresión basado en clustering. Finalmente, se describirá el método y se mostrarán los resultados de la implementación (en Matlab) de este método tanto en señales artificiales como reales.
En esta charla presentaremos un lema cuantitativo de Borel-Cantelli y un corolario que implica un 'tradeoff', un juego entre las tasas de convergencia asintóticas c.s. y la integrabilidad del conteo de índices del incumplimiento con estas tasas. En seguida, miraremos varias aplicaciones, como diferentes leyes de los grandes números fuertes, la cuantificación de estimados de momentos, la convergencia de las urnas de Polya en machine Learning y si el tiempo permite, una versión casi segura del CLT.