Los operads N8 sobre un grupo G codifican operaciones conmutativas salvo homotopía junto con una clase de mapeos de transferencia. Su teoría de homotopía está dominada por los llamados sistemas de transferencia, los cuales son objetos discretos definidos en términos del látice de subgrupos de G. En esta charla demostraremos que en el caso en que G es un grupo Abeliano y finito, hay una biyección entre los sistemas de transferencia y los sistemas de factorización débiles sobre el poset de subgrupos de G, considerado como una categoría. Como consecuencia, obtenemos una involución en la colección de sistemas de transferencia, generalizando un resultado de Balchin-Bearup-Pech-Roitzheim. La charla no asume conocimiento previo del tema. Esto es trabajo en conjunto con Evan Franchere, Usman Hafeez, Peter Marcus, Kyle Ormsby, Weihang Qin y Riley Waugh (todos menos Kyle son estudiantes de pregrado).
En la charla vamos a considerar funciones polinomiales a trozos definidas sobre complejos poliédricos cuyas derivadas, hasta cierto order dado, deben ser también funciones continuas sobre todo el complejo poliédrico. Estas funciones son comúnmente llamadas splines, y son muy importantes en teoría de la approximación, en análisis numérico, y en el bosquejo y diseño asistido por computadora de curvas, superficies y volúmenes. El estudio de estas funciones conecta varias ramas de las matemáticas, y require una intensa interacción entre la información combinatoria y topológica de la partición, y las propiedades algebraicas y analíticas de las piezas polinomiales. En la charla veremos algunos métodos para estudiar el espacio de estas funciones, incluyendo conexiones entre splines y la teoría de la rigidez, el concepto de apolaridad y la constante de Waldschmidt de los puntos duales a las caras interiores del complejo poliédrico. Revisaremos algunas conjeturas, ejemplos, recientes resultados y preguntas abiertas relacionadas con la construción de espacios de splines sobre complejos simpliciales tridimensionales. La charla está basada en un trabajo conjunto con M. DiPasquale.
Sea (X,Y) un vector aleatorio en SxR, donde S es un espacio métrico completo y separable (Polish space), y sea u en (0,1). El Valor de Riesgo VaR(u,x) y el Déficit Esperado ES(u,x) de Y dado X al nivel u son las funciones de S en R definidas respectivamente por las ecuaciones
VaR(u,x)=inf{y:Px[Y< y]>u}
ES(u,x)=Ex[Y|Y> Q(u,x)]
donde Px representa la distribución de Y dado que X=x y Ex la integral de Lebesgue correspondiente (esperanza condicional).
Las funciones VaR(u,x) y ES(u,x) sirven como medidas de riesgo asociadas a valores extremos de la variable dependiente Y dada la variable independiente X y pueden ser caracterizadas en términos de problemas de optimización, de una manera que presentaremos en la charla en forma sumaria.
Nuestro objetivo principal será, sin embargo, más específico: recorreremos de una manera clara y concisa el argumento usado para acotar el error asociado al esquema empírico de optimización propuesto para aproximar VaR(u,x), haciendo énfasis en su carácter cuantitativo, e ilustraremos las posibles aplicaciones de esta cota considerando el caso en que la aproximación se hace usando redes neuronales de una capa. Veremos en particular que, si la optimización se efectúa usando una regularización de tipo LASSO, el incremento en el número de nodos no produce sobreajuste (overfitting).
Si el tiempo lo permite, discutiremos también brevemente conclusiones análogas para la estimación de ES(u,x), y en particular las diferencias entre 'big' y 'small' data que son visibles, en este caso, desde la teoría.
Un espacio móduli es una variedad algebráica cuyos puntos corresponden de manera natural a las clases de equivalencia de los objetos que queremos clasificar. En el caso complejo hay dos interpretaciones de la noción de volúmen de un espacio móduli. Una algebráica usando teoría de intersección, y una analítica usando geometría diferencial. En esta charla veremos que en casos de interés aritmético, estas dos nociones no coinciden, y que el término de corrección puede calcularse usando volúmenes de cuerpos convexos.
El interés de los seres humanos por comunicarse secretamente y guardar información de manera segura es probablemente tan antiguo como la propia escritura. La criptología es el arte de guardar y compartir los secretos, en esta charla vamos a introducirla y ver los retos nuevos que traen los computadores cuánticos. Adicionalmente introduciremos la criptografía post-cuántica basada en teoría de códigos y daremos un ejemplo de un ataque a un criptosistema homomórfico.
En la primera parte de este seminario hablaremos de la relación existente entre las álgebras de evolución y los grafos. Para algunas familias de grafos finitos no dirigidos hablaremos de la relación entre el álgebra de evolución inducida por un camino aleatorio y el álgebra de evolución determinada por el mismo grafo, hablaremos también de esta relación para el caso de los grafos no singulares. En la segunda parte del seminario hablaremos del espacio de derivaciones de un álgebra de evolución asociada a un grafo. En el caso de grafos no dirigidos describimos completamente el espacio de derivaciones de las álgebras de evolución asociadas a ciertas familias de grafos finitos y en el caso de los grafos dirigidos daremos algunas características de dicho espacio y la clasificación completa para dimensión tres.
Resumen: Un espacio de moduli puede ser visto como la solución a un problema de clasificación de objetos geométricos bajo una noción de equivalencia determinada. Las condiciones de estabilidad aparecen de forma natural en la construcción de espacios de moduli de fibrados vectoriales sobre una variedad proyectiva compleja suave al restringirnos a una clase de objetos mejor comportados y acotada.
Una tripla holomorfa (E1,E2,φ) sobre una curva proyectiva compleja suave C consiste en una par de haces coherentes E_1,E_2 en Coh(C) y un morfismo φ: E1 → E2. Sea TCoh(C) la categoría abeliana de triplas holomorfas. El objetivo de esta charla es estudiar condiciones de estabilidad de Bridgeland en D^b(TCoh(C)) y espacios de moduli de triplas holomorfas semiestables. Este es un trabajo conjunto con Dominic Bunnett.
Una variedad de Schubert parametriza espacios vectoriales que satisfacen una lista de propiedades, las cuales dependen de una permutación. Las variedades de Schubert también parametrizan ciertos espacios vectoriales. Ambas variedades tienen conecciones a la combinatoria algebraica y la teoría de la representación. En esta charla presentaré un trabajo en colaboración con Martha Precup y John Shareshian en el que investigamos cuáles variedades de Schubert son variedades de Hessenberg. La charla no asume conocimiento de las variedades Schubert o Hessenberg.
El objetivo de la charla es hacer una breve introducción al análisis p-ádico, definir la transformada de Fourier e introducir los operadores pseudo-diferenciales sobre el campo de los números p-ádicos, entre ellos el operador de Taibleson. A continuación mostramos una generalización de este operador y estudiamos el problema semilineal de Cauchy asociado con dicho operador
En la primera parte de la charla introduciré el Operador de Laplace en una variedad Riemanniana y su espectro. Después explicaré cómo se define el determinante de éste y el contexto y la motivación para considerar fórmulas de Polyakov en superficies. Finalmente, presentaré la fórmula para superficies con singularidades cónicas y factores conformes suaves y para dominios poligonales en una superficie Riemanniana. Para sectores angulares y conos finitos, mencionaré como la forma variacional de la fórmula de Polyakov conlleva a fórmulas explícitas para la derivada logarítmica del determinante respecto al ángulo.
Para el estudio de los efectos de la implementación de políticas de captura en poblaciones presa, que hacen parte de un sistema presa-depredador, se ha hecho uso de un modelo que consta de dos ecuaciones diferenciales parciales difusivas y se procedió a analizar la dinámica de dicho sistema. En esta charla mostraremos aspectos generales y resultados clásicos de este tipo de modelos e intentaremos contextualizarlos para nuestra situación de interés, sistemas dinámicos presa-depredador que sufren el efecto de la caza o de captura controlada.
Presentaremos una breve introducción a la teoría general de especies combinatorias y mencionaremos algunas aplicaciones y generalizaciones de estas, finalizando con la descripción gráfica de las especies sobre una categoría C simétrica monoidal.