Motivado por la cuestión de si (algunas) ecuaciones diofónticas están relacionados con valores especiales de funciones $\zeta $ o $L$ voy a describir primero el origen de la teoría de Iwasawa clásica la cual significa un estudio del grupo de clases en un torre de cuerpos de números. A continuación damos una sinopsis sobre generalizaciones de estas ideas a la teoría no conmutativa de Iwasawa, un tema que se ha desarrollado en los últimos años por Burns, Coates, Fukaya, Howson, Huber, Kato, Kings, Ritter, Schneider, Sujatha, Weiss y el autor.

Motivado por la cuestión de si (algunas) ecuaciones diofónticas están relacionados con valores especiales defunciones $\zeta $ o $L$ voy a describir primero el origen de la teoría de Iwasawa clásica la cual significa un estudio del grupo de clases en un torre de cuerpos de números. A continuación damos una sinopsis sobre generalizaciones de estas ideas a la teoría no conmutativa de Iwasawa, un tema que se ha desarrollado en los últimos años por Burns, Coates, Fukaya, Howson, Huber, Kato, Kings, Ritter, Schneider, Sujatha, Weiss y el autor.

En la dinámica de la biología de poblaciones la estructura de edades juega un papel importante. En esta presentación dará una introducción a la demografía el trabajo de Lotka, Volterra, Feller y otros. Revistare resultados demográficos basados en teoremas de Tauber y brevemente explicare las aplicaciones a la epidemiologia usando el caso de la influenza.

En la dinómica de la biología de poblaciones la estructura de edades juega un papel importante. En esta presentación dará una introducción a la demografóaóel trabajo de Lotka, Volterra, Feller y otros. Revistare resultados demográficos basados en teoremas de Tauber y brevemente explicare las aplicaciones a la epidemiologia usando el caso de la influenza.

En esta charla veremos lo qué es un grupo profinito, las propiedades topológicas que los definen y mostraremos algunas construcciones además de algunos ejemplos y su clasificación. También definiremos una cohomología para los grupos profinitos, veremos cómo se recupera la cohomología de un grupo profinito a partir de la cohomologóa de grupos finitos y por último daremos una idea de cómo se usa la sucesión espectral Lyndon-Hochschild-Serre en algunos casos muy particulares.

Desde 1967 se ha venido desarrollando en el área de matemáticas discretas lo que hoy se conoce con el nombre de teoría de descomposición. La teoría de descomposición estudia familias de estructuras combinatorias que pueden "factorizarse" de una manera única en factores primos, estructuras indivisibles. Los grafos y las funciones booleanas monótonas son dos ejemplos de tal tipo de familias. Haremos una introducción a la teoría de operads conjuntásticos en el contexto de la especies combinatorias introducidas por A. Joyal. Discutimos como la teoría de descomposición se incluye en el marco general de operads conjuntásticos, e interpretamos la descomposición en factores primos como la descomposición del operad correspondiente en un coproducto de operads no factorizables en el sentido de la composición operódica.

Phylogenetic trees represent ancestral histories and have many important applications in biology, anthropology and criminology. Formally, they are edge-weighted tree graphs that live in a nonpositively curved metric space. In this talk I will discuss interesting geometric and combinatorial properties of the space of phylogenetic trees, and distributional behaviour of Fróchet tree means. I will conclude with a procedure for constructing confidence sets for trees and apply it to infer the origins of the Zika virus. The talk will be in English.

Los árboles filogenóticos representan historias ancestrales y tienen diversas aplicaciones importantes en la biología, la Antropología y la Criminología. Formalmente, son grafos conexos sin ciclos con pesos en sus aristas, y viven en un espacio métrico con una curvatura no positiva. En esta charla discutiró las propiedades geomótricas y combinatorias del espacio de los árboles filogenéticos, y el comportamiento distribucional de los promedios muestrales (tipo Fróchet) de una colección de árboles. Finalmente, concluiró con un mótodo para construir conjuntos de confianza para árboles y su aplicación para inferir los origenes del virus Zika. La charla seró en ingles.

Fijamos un politopo P en R^d cuyos vórtices tienen coordenadas enteras, y nos interesa contar el número f(t) de puntos en Z^d en el interior de la dilación tP, para t un número natural. Es un teorema de Ehrhart que esta función f(t) siempre es un polinomio. Si los vórtices de P son racionales, entonces la función f(t) no siempre es un polinomio, pero es un cuasi-polinomio: existe un m y polinomios g_1, ..., g_m tales que f(t) = g_i(t) cuando t es congruente a i módulo m. Presentaremos una generalización del teorema de Ehrhart (trabajo junto con Tristram Bogart y Kevin Woods): si f(t) cuenta el número de puntos en Z^d en el interior de una figura definida a través de adición, multiplicación por el parámetro t o por constantes en Z, desigualdades, y cuantificadores sobre Z, entonces f(t) es cuasi-polinomio a partir de algún punto. Este marco general une a varios fenómenos combinatorios y nos permite analizarlos en términos de la lógica matemática.

El estudio de las superficies en el espacio euclódeo de dimensión 3 es uno de los campos mas estudiados en las matemáticas en toda su historia y respecto a las superficies que están dotadas con la métrica Riemanniana heredada de R^3 es uno de los campos más activos de la geometría diferencial en los últimos tiempos, debido a que en esta clase de superficies podemos definir diferentes invariantes geométricos, es decir, podemos definir aplicaciones que se preservan sin importar la isometría que se apliquen a las superficies. La curvatura media de una superficie es un invariante geométrico que podemos definir en una superficie. De hecho el estudio de las superficies de curvatura media constante es uno de los típicos mas activos de la geometría intrínseca de las superficies en R^3. Por la dificultad de como este invariante nos puede ayudar a comprender la geometría de la superficie, surgió la necesidad de dividir el estudio de esta clase de superficies dependiendo del valor de la curvatura media. Cuando la curvatura media es cero, estas superficies son llamadas superficies mínimas o minimales y se llaman de esta manera porque este tipo de superficies son puntos críticos del funcional área de una superficie. Es importante decir, que el estudio de las superficies mínimas es por si solo un campo de investigación muy amplio con una rica teoría y diversos ejemplos que ha aportado muchos avances en la compresión de algunos fenómenos físicos, como el Teorema de la masa positiva y el problema de Plateau. Por el contrario de la superficies mínimas. Hasta la primera mitad del siglo XX, la esfera era el único ejemplo conocido de una superficie de curvatura media constante no cero. Durante esta época el estudio de estas superficies se concentro en encontrar ejemplos de superficies de curvatura media constante no cero diferentes a la esfera y con algunas restricciones topológicas tales como la compacidad de la superficie o condiciones sobre su género. Posteriormente, Alexandrov y Hopf dieron las caracterizaciones más importantes de esta clase superficies. En esta charla hablaremos de las superficies de curvatura media constante, definiendo los conceptos necesarios para su compresión y con algunos ejemplos de estas superficies. Despuós hablaremos del teorema de Hopf y como la demostración de este teorema ilustra un mótodo muy general que se puede explicar de manera abstracta en la teoría de formas bilineales y puede aplicarse para clasificar superficies de curvatura media constante en variedades Riemannianas de dimensión 3 diferentes al plano Euclidiano

La idea fundamental de la biología de sistemas es que los circuitos internos que controlan el comportamiento de las células son equivalentes a circuitos eléctricos, excepto en que como las seóales básicas son números de macromoléculas, las fluctuaciones son inevitables. Esto hace que el funcionamiento de los circuitos genóticos deba ser tratado como un proceso estocástico. Por otro lado, una de las funciones principales de dichos circuitos es el procesamiento de información sobre el medio ambiente y la toma de decisiones sobre cómo responder en medio de la incertidumbre generada por las fluctuaciones antes mencionadas. Por tanto, el anólisis de estos procesos requiere de la teoría de la información y el ver la biología desde esta perspectiva lleva a una visión muy diferente del funcionamiento de los seres vivos. En esta charla se mostraró, principalmente desde estos temas, cómo muchas de las preguntas más interesantes en la biología requieren de herramientas de la matemática aplicada.

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Vamos a considerar varios sistemas de ecuaciones en derivadas parciales que modelan el movimiento de un líquido estratificado tridimensional tanto lineal como no-lineal. Presentaremos algunas técnicas de investigar las propiedades matemáticas de las soluciones, tales como la transformada de Fourier para el problema de Cauchy, teorema de Zygmund-Calderón para las estimaciónes en Lp, método de Galerkin para las soluciones débiles, el espectro de las vibraciones internas para la unicidad de la amplitud límite, etc.

"A decir verdad, hasta hace dos años mi relación con la matemática se limitaba (dejando aparte el trabajo de enseñarla) a hacerla -- a seguir un impulso que sin cesar me empujaba adelante, hacia algo "desconocido" que me llamaba sin cesar. Ni se me hubiera ocurrido pararme en ese avance, aunque sólo fuera un instante, para volverme y ver el camino recorrido o para situar la obra realizada. (Bien para situarla en mi vida, como algo a lo que siguen ligóndome vónculos profundos y largo tiempo ignorados; o también, situarla en esa aventura colectiva que es "la matemática".) Es extraño, para "pararme" al fin y volver a conocer esa obra medio olvidada, o para pensar sólo en dar un nombre a la visión que ha sido su alma, ha hecho falta que me encuentre de golpe frente a la realidad de un Entierro de proporciones gigantescas: el entierro, por el silencio y la burla, de la visión y del obrero en que había nacido..."

Esto escribóa Alexandre Grothendieck una vez retirado del mundo activo de la matemática, como parte de una reflexión de mil póginas, lócida y preciosa, en la que el gran investigador recorre el itinerario fecundo de su vida intelectual. Y lo escribóa poco antes de retirarse del mundo, pues en adelante habría de pasar los últimos 25 años de su vida en una reclusión silenciosa y voluntaria, semejante a la de los anacoretas.

En esta charla nos situaremos en la perspectiva del propio Grothendieck, y, apoyados en su honesto testimonio, examinaremos algunos de los momentos notables de ese impulso que lo guiá.