Tropical geometry is a combinatorial type of geometry that emerges naturally when we look at the classical one in logarithmic coordinates. In my talk, I will present the basic ideas behind this approach and sweeten them up with two important applications: enumerative geometry and the study of real algebraic curves.
En esta charla daremos una introducción a los ultraproductos de estructuras discretas y una modificación de la construcción que permite tomar ultraproductos de estructuras métricas. Un ultraproducto de estructuras finitas es un ejemplo de una estructura pseudofinita y un ultraproducto mètrico de estructuras compactas nos dará una estructura pseudocompacta. Mostraremos algunos ejemplos y propiedades de estas construccionesr
Dada una variedad diferencial presentaré dos ejemplos de estructuras infinitesimales: los algebroides de Lie y los algebroides de Courant. Mostraré que tales algebroides dan un contexto para estudiar variedades simplécticas, variedades de Poisson y estructuras de Dirac. Adicionalmente, mostraré como algunas nociones de geometría diferencial se pueden transportar al contexto de los algebroides de Lie y de Courant. Si el tiempo lo permite, explicaré cómo presentar un algebroide de Courant como un algebroide de Lie en la categoría de dg-variedades
Una fibración consiste de tres espacios (topológicos) E, B y F, de manera que se describe a E con copias de F, tantas como puntos de B. Esta parametrización se hace de manera continua. El ejemplo más sencillo de una fibración es el producto, E= BxF. Otro, que no es un producto, es la llamada fibración de Hopf, que permite construir la 3-esfera a través de círculos parametrizados por puntos de la 2-esfera. La existencia de este tipo de fibraciones, es decir, cuando E, F y B son esferas, está íntimamente ligada con varios problemas en la matemática: la clasificación de álgebras reales, el problema del invariante de Hopf, paralelizabilidad de esferas y la existencia de H-estructuras sobre esferas. El objetivo de esta plática es el de revisar cómo las soluciones a estos problemas conducen a la clasificación de fibraciones de este tipo.
It is well-known, that irreducible, aperiodic Markov chains on finite space have an exponential upper bound of their convergence towards a unique invariant distribution, where the rate of convergence can be given in terms of the spectral gap of the generating matrix. However these are only upper bounds and often can be replaced by an asymptotically abrupt time scale (in a sense to be explained) along which the total variation distance between the current state and the invariant distribution essentially collapses. This phenomenon is illustrated for some classical examples of card shuffling. In the second part of the talk we present some recent results on cutoff thermalization for the Ornstein-Uhlenstein process in the small noise limits. This is joint work with G. Barrera Vargas (U. Helsinki) and J.C. Pardo Millán (CIMAT).
Ciertos grupos de Lie como el grupo de matrices invertible de tamaño mayor que dos y sus retículas tienen ciertas propiedades de rigidez', explicare en la charla este concepto de rigidez y su historia, incluyendo teoremas clasicos de los años 70 como el teorema de rigidez de Mostow y de Margulis y sus aplicaciones en geometría y topología. Tambien discutiré cierto conjunto de problemas llamado el Programa de Zimmer que intenta generalizar estos teoremas.
Los politopos de flujo son una familia de politopos cuyo volumen y puntos reticulares están relacionados con teoría de representaciones, via funciones de partición de Kostant. En esta charla introduciremos un nuevo modelo combinatorio usado para el cálculo del volumen de estos politopos. Este modelo interpreta de manera puramente combinatoria fórmulas conocidas de Baldoni y Vergne para el cálculo de dichos volumenes, al igual que fórmulas de Pitman y Stanley. En particular, nuestro modelo ayuda a obtener fórmulas elegantes para el volumen de familias particulares de politopos de flujo, las cuales provienen de ciertos grafos que bautizamos grafos caracol.
¿En cuántos puntos se intersectan una línea recta aleatoria y una curva en el plano? La respuesta a esta pregunta es una invariante de la curva llamada 'grado'. La noción de grado se puede extender a figuras de mayor dimensión definidas en términos de polinomios (variedades) y es una invariante importante en la interacción entre Geometría Algebraica y Álgebra Conmutativa. En esta charla daré un resumen de esta teoría y sus generalizaciones a variedades en multiespacios. En particular, presentaré resultados recientes en trabajo conjunto con Castillo, Cid-Ruiz, Li, y Zhang.
(Trabajo conjunto con Alexander Arbieto)
En esta charla introduciremos algunos resultados relacionados con sistemas dinámicos, explicando la terminología usada en los resultados y proporcionando interpretaciones geométricas para dar un panorama general de los mismos.
El objetivo será estudiar pequeñas perturbaciones de ciertos conjuntos llamados seccionales hiperbólicos de campos vectoriales sobre variedades compactas (por ejemplo un toro en $\mathbb{R}^3$). Realizaremos una descripción de los conjuntos atractores y repulsores, que son conjuntos en la variedad que determinan un comportamiento característico (dinámica especial) en puntos cercanos a ellos. Esto nos permitirá introducir el concepto más general de clase homoclínica, y presentaremos una cota superior para el número de clases homoclínicas que pueden surgir de estas perturbaciones.
El resultado principal extiende algunos resultados previos de finitud en dimensión superior para variedades compactas, obtenidos por Morales y Arbieto.
Referencias:
[1] Morales C.A. The explosion of singular-hyperbolic attractors. Ergodic Theory Dynam. Systems 24 (2004). no. 2, 577-591
[2] Arbieto A., Morales C.A., Senos, L. On the sensitivity of sectional-Anosor flows. Math. Z. 270 (2012) no. 1-2, 545-557
[3] López, A.M. Finiteness and existence of attractors and repellers on sectional hyperbolic sets. Discrete & Continuous Dynamical Systems-A. Vol 37, No. 1 (2017) 337-354
Una variedad real es un espacio compuesto de regiones del espacio euclidiano R^n pegadas por difeomorfismos. Al reemplazar R^n por C^n y difeomorfismos por biholomorfismos (C-difeomorfismos) obtenemos una variedad compleja que se puede ver como una variedad real con 'estructura compleja', es decir con un campo de operadores lineales J tal que J^2 = -I y que satisface la condición de integrabilidad. La teoría de variedades complejas es bien desarrollada y tiene varias aplicaciones, en particular a geometría algebraica, geometría diferencial y física teórica.Variedades sobre álgebras es una generalización de las variedades complejas. Para un álgebra conmutativa A podemos definir aplicaciones A-diferenciables entre A-módulos y luego definir variedades sobre A reemplazando C por A en la definición de variedad compleja. En la charla voy a explicar elementos de la teoría de variedades sobre álgebra y contar un poco sobre la historia de su desarrollo, dar ejemplos de variedades reales que admiten la estructura de variedad sobre álgebra, mostrar relaciones entre estas estructuras y otras estructuras geométricas, en particular las foliaciones y los espacios de chorros ('jet spaces').
En esta charla daremos una mirada panorámica al origen, desarrollo e influencia de las categorías derivadas en diferentes ámbitos de las matemáticas. Luego presentaremos algunas de sus aplicaciones en la teoría de representaciones de álgebras de dimensión finita y mostraremos, sin adentrarnos en los detalles técnicos, algunos de los problemas con los que nos hemos topado recientemente.
En esta conferencia compartiré unas reflexiones que he venido organizando sobre las carreras de matemáticas en el país. Habrá ideas controversiales, así que los invito a asistir. Los espero.
After a quick overview of the topic, we present some recent developments in the numerical approximation of elliptic partial differential equations with high-contrast multiscale coefficients. In particular we recently introduced a robust upscaling technique known as the generalized multiscale finite element method (GMsFEM). We also present the design of robust two-levels domain decomposition methods that use the GMsFEM method as a second level. In order to show the benefits of using the proposed methodology several applications are considered: two-phase flow in high-contrast multiscale porous media, the free boundary dam problem in heterogeneous media and an elasticity problem in topology optimization.