Coloquio de Matemáticas

Consideramos un operador lineal S en un espacio de Banach X cuyo espectro no intersecta el eje imaginario. Vamos a mostrar criterios sobre el operador S tal que el espacio X permita una descomposición en subespacios que son invariantes bajo el operador S y tal que el espectro de las restricciones de S a estos subespacios esté contenido o en el semiplano izquierdo o en el semiplano derecho complejo.

Soap bubbles are a serious topic in mathematics and one with lots of applications. The show will include a little guessing contest with demonstrations, explanations, and prizes. All students welcome.

In this talk, I will discuss the fundamental ideas of noncommutative geometry. The idea of noncommutative geometry is, in fact, very simple. Noncommutative geometry is based on one of the most key ideas in mathematics, correspondence between algebra and geometry, according to which, a concept in the algebra corresponds to a dual concept in the geometry. I will focus on noncommutative geometry based on Connes' development in the early 80's, which is based on Gelfand-Naimark correspondence for commutative (C*-)algebras and locally compact Hausdorff spaces. Noncommutative geometry concerns the dual to noncommutative (C*-)algebra. By this duality, many concepts from commutative algebras can be used as definitions of those concept such as functions on the space, integra or even vector bundles. Some of these dualities will be explained in my talk.

Over a hedge fund comprising one risky asset and a risk-free bond, we model a hedge fund manager's wealth and the corresponding investor's wealth, both subject to the hedge fund special reward scheme. Using stochastic control techniques, we maximise the expected utility of wealth of the manager controlling the percentage invested in the risky asset, and obtain the utility of wealth of the investor under the decisions made by the manager. Comparisons with risk-free investment suggests that, in some cases, the investor is paying more to the manager than the return he is perceiving for having the hedge fund. We propose a new hedge fund contract where the investor has the option to reinvest in the fund, so we model this reinvestment as a strategic game between the manager and investor and we found that the investor inflows even in hedge funds with low rate of returns. Besides, we spot by comparing the two types of contracts for the investor that the option to inflow money can have lower utility.

La estrecha relación entre la geometría analítica compleja y la geometría algebraica sobre los complejos es lo que se conoce formalmente como el principio GAGA (Géom�trie Alg�brique et Géométrie Analitique). La teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales busca aprovechar esta relación para estudiar las ecuaciones diferenciales usando m�todos algebraicos. En esta charla haré un sobrevuelo sobre la teoría de Picard-Vessiot (teoría de Galois para ecuaciones diferenciales lineales ordinarias) para caracterizar las ecuaciones cuyas soluciones producen las funciones necesarias para parametrizar curvas algebraicas proyectivas. De esta forma logramos unir los dos paradigmas de estudio de curvas: por un lado, lugares geométricos unidimensionales descritos por soluciones de ecuaciones, y por el otro, objetos geométricos parametrizados por funciones de una sola variable.

This colloquium talk is basically dedicated to an introduction to random dynamical systems and applications to stochastic differential equations (SDEs). We shall start by motivating the study of random dynamical features such as synchronization and Lyapunov exponents for SDEs by time series analysis. Then we will introduce the notions of a random dynamical system, weak random attractor, weak synchronization and Lyapunov exponents. In the sequel we will show very recent sufficient results by Gess, Flandoli and Scheutzow for a negative top Lyapunov exponents for SDEs with Brownian noise, which essentially implies weak synchronization. After this we will give an introduction to Lévy processes and show first results on the existence of a negative top Lyapunov exponent. The last results are work in progress with B. Gess from the Max-Plack Institute in Leipzig, Germany.

En la charla se presentan y discuten diferencias entre acepciones del razonamiento cuantitativo en el terreno de la evaluación de las competencias del siglo XXI, también llamadas competencias genéricas. La discusión se ilustra con ejemplos de preguntas y ejercicios de evaluación. Finalmente se presenta una propuesta de definición que acerca el razonamiento cuantitativo a lo que se llama pensamiento científico y que se puede considerar del nivel apropiado para la educación superior.

Nonlinear expectations, as introduced by S. Peng, are deeply related to monetary risk measures and of great interest in modern finance. Nonlinear expectations are used to describe prices of contingent claims under model uncertainty or in incomplete markets. The most prominent examples of such expectations are the g-expectation and the G-expectation which can be obtained from solutions of stochastic optimal control problems under drift uncertainty and volatility uncertainty, respectively. In this talk, we will demonstrate how the G-expectation can be constructed from a nonlinear PDE, the G-heat equation, using a semigroup-theoretic approach and a nonlinear version of Kolmogorov�s extension theorem. Finally we will discuss how these techniques can be generalized to construct nonlinear Lévy processes from nonlinear PDEs.

¿Cómo resolver una ecuación diferencial ordinaria F(x, y, y') = 0? Resulta que los "trucos mágicos" que usamos para resolver varios tipos de ecuaciones diferenciales al fondo tienen la misma base: existencia de un simetría. ¿Pero qué es una simetría de ecuación diferencial y cómo usar las simetrías para encontrar soluciones? Veremos que la geometría diferencial nos ayuda a responder a esta pregunta en una manera muy natural. Entonces, en la charla vamos a presentar una descripción geométrica de las ecuaciones diferenciales, explicar cómo encontrar sus simetrías y mostrar ejemplos prácticos de usar las simetrías para resolver ecuaciones diferenciales.

Una de las preguntas más importantes y difíciles de responder para los economistas es: ¿porqué hay unos países que progresan mientras otros permanecen estancados en la pobreza?. Para tratar de entender el problema y acercarnos quizá a una explicación usando herramientas matemáticas usamos dos modelos, uno epidemiológico y otro económico. Mediante un acoplamiento de estos modelos se logra obtener un equilibrio de esta economía simplificada, para luego encontrar que existe un ahorro óptimo que maximiza el producto per-capita de una economía que está sujeta a la presencia de enfermedades infecciosas.

Sea r_k(n) el número de formas de colocar k torres en una tablero de ajedrez de tamaño n x n tal que ninguna torre ataque a otra. Los polinomios de torres R_0, R_1, R_2,... se definen por R_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k r_k x^{n-k}. Demostraremos por métodos combinatricos que esta familia de polinomios es (hasta normalización) una de las pocas familias clásicas de polinomios ortogonales: los polinomios de Laguerre. Esta charla no contendrä resultados orginales.

Un grupo topológico es un grupo con una topología que hace que la operación de grupo y la inversa sean continuas. Al tener dos estructuras, una algebraica y otra topológica, una puede preguntar que tanto coinciden. En particular, cuando los homomorfismos de grupos son continuos. En general esto no es cierto, y hay pocas herramientas para determinar cuando lo es. Una de las herramientas más útiles fue desarrollada por Kechris y Rosendal y tiene que ver con propiedades globales de la acción de conjugación del grupo sobre sí mismo. Daremos una introducción a estos temas y finalmente hablaremos de un resultado en conjunto con A. Berenstein.

En 1924 André Bloch demostró el siguiente hecho sorprendente y que ahora se enseña en algunos cursos de variable compleja: Sean B⊂C el disco unitario complejo abierto y f: B→C una función holomorfa tal que f'(0)=1 y f(0)=0. Existe una constante β>0 tal que existen Ω ⊆ B y un disco D⊂C de radio β tales que f: Ω→D es una biyección. El valor óptimo de β aún se desconoce y se le denomina constante de Bloch. En esta charla daremos una nueva demostración del Teorema de Bloch usando métodos de punto fijo, y mostraremos un posible camino para mejorar las mejores cotas por debajo que las existentes en el mercado de hoy. Este es trabajo conjunto con Julio Montero.