Coloquio de Matemáticas

I'll discuss a system of coordinate charts for the classical Grassmannian that arise from a special class of planar diagrams known as Postnikov diagrams. These charts enjoy many remarkable properties, among them: their coordinate functions are log-canonical with respect to the Grassmannian's underlying Lie-Poisson structure the transition map between any pair of charts of this kind exhibits the Laurent phenomenon (as formulated by S. Fomin and A. Zelevinsky) each chart of this kind restricts to a parameterization of the totally positive part of the Grassmannian Very little background on the part of the listener will be needed to follow this discussion except, perhaps, for a belief in determinants. There will be some delightful pictures to help stimulate our conversation.

I will introduce the gamma function, the Airy function, and explain how divergent power series are in calculating their values. I will discuss the counter-intuitive property of divergent series called the Stokes phenomenon, and finish with the link to the quantum tunnelling effect.

Funciones meromorfas cuyos polos son lineales en las variables surgen de manera natural en la física y en varios dominios de la matemática. Por medios de la geometría de los conos convexos y usando un producto escalar, se pueden descomponer en una parte holomorfa y su complemento. Esta misma descomposición permite definir un residuo en esta clase de funciones. Ocurre que tomar el residuo de sumas exponenciales sobre puntos enteros de un cono, lleva a las integrales exponenciales correspondientes. Esta presentación está basada en un trabajo común con Li Guo y Bin Zhang

En la literatura de Máquinas de Soporte Vectorial se ha dedicado mucha atención al problema de identificar los vectores de soporte en conjuntos grandes de datos. En esta charla discutimos como el uso de muestreo en combinación con búsqueda de vecinos más cercanos, puede llevar a procedimientos que logran una solución aproximada del problema de clasificación, a un costo computacional relativamente bajo e identificando, en algunos problemas, un subconjunto importante de los vectores de soporte correspondientes al conjunto grande de datos inicial. Se evalua el desempeño de los métodos propuestos en diversos ejemplos y se estudian algunas propiedades teóricas que sirven de base para los procedimientos propuestos. Palabras clave: Máquinas de Soporte Vectorial, k Vecinos más Cercanos, muestreo.

Si A es un álgebra C* y B una subálgebra, una proyección Φ: A→B, de norma 1, se llama una esperanza condicional de A en B (por ejemplo, la proyección que asocia a una matriz compleja su parte diagonal). Con este dato, se puede introducir de manera natural, una estructura reductiva en el espacio homogéneo P del grupo unitario del álgebra A módulo el grupo unitario de la subálgebra B. Por otra parte, existen métricas de Finsler naturales (invariantes) en P, ligadas a esta estructura reductiva. En la charla, describiremos algunas propiedades métricas de estos espacios.

Abstract.

El cálculo pseudodiferencial es una herramienta muy útil en análisis y geometría. En variedades infinitamente diferenciables este cálculo se realiza a través de símbolos que son conceptos que se definen localmente. Sobre variedades dotadas de cierto tipo de simetría (a través de la acción de un grupo de Lie) es posible desarrollar una noción global del símbolo de un operador pseudodiferencial. En esta charla consideramos dicha noción y la usamos para definir un cálculo pseudodiferencial global sobre el toro noconmutativo. Si el tiempo lo permite, también describimos algunas trazas funcionales sobre estos operadores. Esta charla está basada en trabajo conjunto con Cyril Levy y Sylvie Paycha.

This colloquium is dedicated to the presentation of a classical problem in probability theory, which has gained new interest due to recent studies in paleoclimatology. We shall start with an introduction to Brownian motion and Levy processes, in particular stable processes. In the sequel we shall explain the first exit problem of a gradient dynamical system perturbed by each of the stochastic processes from the domain of attraction of a stable state when the intensity of the stochastic process tends to zero. After this we shall generalize this reasoning to a generic class (Morse-Smale) of hyperbolic non-gradient system with only a global attractor. In the end we shall illustrate this result for the celebrated van-der-Pol oscillator perturbed by a stable process. This is joint work with Ilya Pavlyukevich, Friedrich-Schiller-Universitat Jena, Germany.

Dado un grupo finito un invariante clásico que se le puede asociar es el anillo de representaciones, este anillo contiene información interesante sobre el grupo. En el caso de grupos discretos se proponen dos alternativas para definir el anillo (una analítica y una topológica) y como se relacionan cada una de ellas, finalmente se muestran algunas consecuencias de que estas dos aproximaciones sean equivalentes.

Es bien conocido (Cook-Levin) que problemas de restricciones comunes (ej: k-SAT, coloramiento propio de grafos, NAE-SAT) son NP-duros. Esto, en particular, ha dado origen al estudio de la estructura o 'geometría' de sus soluciones con el fin de explicar la falla de algoritmos locales en la búsqueda de éstas. En esta charla describiremos qué es un CSP (constraint satisfaction problem) aleatorio (o 'típico') y mostraremos algunas técnicas empleadas en el estudio de la estructura de su espacio de soluciones. Nos concentraremos en el fenómeno de rigidez y clustering de soluciones. En particular demostraremos que para un CSP aleatorio, casi toda solución tiene un núcleo no vacío donde sus variables son rígidas, explicando así indirectamente la falla esencial de algoritmos locales en la búsqueda de soluciones.

Si A y B son matrices del mismo tamaño u operadores lineales acotados entre espacios de Hilbert y R denota el espacio columna o la imagen del operador respectivo, se trata de determinar bajo qué condiciones vale la igualdad R(A+B)=R(A)+R(B)

The sudden collapse of oil prices poses a challenge to inflation targeting central banks in oil exporting economies. This paper illustrates that challenge and conducts a quantitative assessment of the impact of permanent changes in oil prices in a small and open economy, in which oil represents an important fraction of its exports. We calibrate and estimate a variety of real and monetary dynamic stochastic general equilibrium models using Colombian historical data. We find that, in these artificial economies the macroeconomic effects can be large but vary depending on the structure of the economy. The main channels through which the shock passes to the economy come from the increased country risk premium, the real exchange rate depreciation, the sectoral reallocation of resources from nontradables to tradables and the sluggish adjustment of prices. Contrary to the conventional findings in the literature of the financial accelerator mechanism for single-good closed economies, in multiple-goods small open economies the financial accelerator does not play a significant role in magnifying macroeconomic fluctuations. The sectoral reallocation from nontradable to tradables diminishes the financial amplification mechanism.