Coloquio de Matemáticas

En la combinatoria enumerativa se buscan fórmulas para calcular funciones f(n) definidas sobre los números naturales. Por ejemplo, ¿cuantas permutaciones tiene un conjunto de n elementos? ¿Cuantas particiones tiene el mismo conjunto? ¿Cuantas grafos no etiquetados hay en n vértices? Una fórmula puede ser recursiva o puede ser implícita como una función generatriz f(0) + f(1) x + f(2) x^2 + ... Una medida de la calidad de una fórmula es la rapidez con la que nos permite calcular f(n) como una función de n. Mas generalmente, se puede preguntar si una función f(n) admite una fórmula eficiente; es decir, calcular o acotar su complejidad computacional. Exploraremos esta preguntas para unas importantes funciones de conteo y mencionaremos unas preguntas abiertas. Esta charla fue inspirada por la charla plenaria de Igor Pak en el Congreso Internacional de Matemáticos en 2018, y no contendrá resultados originales.

This is a talk for a general audience. I will start by explaining what manifolds and their Betti numbers are in a non-technical way. Roughly speaking they are integers who measure the number of holes of a certain type in a space. Normally if one attaches a number to a mathematical object one asks what values this number can take. It is very surprising that it seems that in the case of Betti numbers of closed manifolds nobody asked this. Only recently it was studied and a bridge to algebra and number theory was found. This allows concrete answers and some surprising results were obtained. I will report about joint work with Don Zagier.

Sin lugar a dudas Michael Atiyah (1929 - 2019) fue uno de los grandes matemáticos del siglo veinte, y entre sus logros más reconocidos está la llamada teoría del índice, un compendio de resultados que relacionan el índice de un operador de Fredholm con diferentes invariantes de muy distintas áreas de las matemáticas. En esta charla abordaré los antecedentes del teorema del índice de Atiyah-Singer y explicaré los resultados obtenidos por el mismo Atiyah (y colaboradores) para extender este resultado a otros múltiples contextos, también mencionaré algunas de sus importantes aplicaciones en matemáticas y en física teórica.

In this talk we give a brief introduction to stochastic models driven by non-Gaussian Lévy jump noise. We discuss the probabilistic approach to the first passage problem, as well as the famous Ito-Stratonovich dilemma for multiplicative noise in the context of Lévy driven stochastic differential equations.

Una superficie no holonómica es un campo de planos en el espacio euclidiano tridimensional. El estudio de geometría de superficies no holonómicas es motivado por sus aplicaciones a la mecánica de sistemas con restricciones no holonómicas (una esfera que está rodando por una superficie rugosa da un ejemplo del sistema no holonómico), a la mecánica de fluidos y a la teoría de control óptimo. En la charla vamos a explicar como definir invariantes geométricas (como, por ejemplo, curvaturas) para una superficie no holonómica y presentaremos algunos ejemplos de aplicaciones de geometría no holonómica a mecánica y control óptimo.

This talk will review some of the main ideas that have appeared in the statistical literature in connection with the problem of estimating the dimension of the manifold where a data set lives, with an emphasis on the methods that are applicable in a local way (in neighborhoods of data points). A taxonomy of the ideas available is attempted. Some recent and different ideas for this problem, that involve collaborations with coauthors from the Math Department at Universidad de Los Andes, will be discussed as well.

La teoría axiomática de conjuntos se ha desarrollado vertiginosamente durante la segunda mitad del siglo pasado y en lo que va de este. Como es bien sabido, hay importantes preguntas sobre conceptos fundamentales de las matemáticas cuya respuesta escapa al poder de la teoría, y esto ha motivado la consideración de nuevos axiomas. Describiremos varios tipos de axiomas que han sido considerados y algunas de sus consecuencias.

Consideraremos la pregunta: ¿cómo podemos clasificar las clases axiomatizables (en la lógica del primer orden) de grupos abelianos dotados con un orden total que es compatible con la operación del grupo? En el lenguaje simple de {<,+} con símbolos para el orden y para la suma, las teorías completas fueron estudiados por P. H. Schmitt y Yu. Gurevich, y la eliminación de cuantificadores fue investigado por R. Cluckers y I. Halupczok en 2011. Vamos a definir una suerte de dimensión útil que llama el dp-rango, y discutiremos qué se puede decir sobre grupos ordenados abelianos (posiblemente con más estructura) en el contexto de dp-rango finito.

A Thaddeus flip of an algebraic variety is a special type of surgery in codimension 2. Let V_d be the degree d embedding of the projective plane. In this talk I will construct a sequence of flips for the secant varieties of V_d by “flipping” certain exact sequences of complexes of sheaves in P^2. This sequence of flips also appears after restricting a (directed) Minimal Model Program for certain moduli space of 1-dimensional sheaves. Similar but more elaborated construction can be carried out on some threefolds. Some of these results are old and some are new, this work is partially joint with Aaron Bertram and Benjamin Schmidt.

Por Confirmar.

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Pipe dreams are certain combinatorial objects that play a fundamental role in the combinatorial understanding of Schubert polynomials. They also encode many geometric structures such as associahedra, multiassociahedra, and v-Tamari lattices. In this talk, I will describe a Hopf algebra structure on a family of pipe dreams. This Hopf algebra gives rise to intriguing connections to the enumeration of certain lattice walks on the quarter plane and remarkable applications to the theory of multivariate diagonal harmonics. This is joint work with Nantel Bergeron and Vincent Pilaud.