Real symmetric matrices appear ubiquitously across the mathematical sciences, and so do linear spaces of such matrices. We discuss recent developments concerning their algebraic geometry, with a view towards applications in statistics and optimization.

Many stochastic systems -such as strongly irreducible Markov chains on finite state space- have the tendency to converge (in some metric) as time goes by to a unique dynamical equilibrium. In this talk we give a short introduction to the so-called cutoff phenomenon for systems which depend on a parameter (for instance, growing size of the state space or decreasing noise intensity). It states that in terms of this parameter the system converges sharply along a precise deterministic time scale. That is, morally, any lag behind this time scale implies large distances to the equilibrium, while any advance ahead of this time scale leads to small distances. First, we give an introduction on the historical phenomenon for card shuffling. In the second part we explain recent results on the topic for a variety of linear and nonlinear ordinary and partial differential equations with a stable state for small noise in the Wasserstein distance. These results are part of an ongoing research project with G. Barrera (U. Helsinki) and J.C. Pardo (CIMAT, Mexico).

La geometría tropical es, en pocas palabras, geometría con los números tropicales, donde la multiplicación se reemplaza por adición, y la adición se reemplaza por tomar el mínimo. De esta manera, es posible 'tropicalizar' espacios geométricos y/o algebraicos para así obtener espacios poliedrales que se prestan para un estudio combinatorio. En esta charla daré una introducción básica a este tema, y presentaré un par de aplicaciones a distintas ramas de la matemática.

Un teorema clásico en geometría Euclideana dice que dos discos disjuntos en el plano tienen exactamente cuatro tangentes comunes. El objetivo de la charla es presentar una generalización robusta del teorema para dimensiones altas, reemplazando los discos por cuerpos convexos arbitrarios suficientemente separados. En el camino discutiremos direcciones, como el teorema es intuitivo y contraintuitivo simultáneamente, y porque está conectado con temas de combinatoria y geometría discreta.

El objetivo de esta charla es estudiar los espacios de parejas que conmutan en grupos de Lie y los correspondientes espacios de representaciones. En particular, exploraremos algunos ejemplos ilustrativos. Adicionalmente, vamos a ver que dichos espacios de representaciones se pueden describir como ciertos espacios proyectivos con pesos.

Almost 150 years ago, Harnack proved a tight upper bound on the number of connected components of a real planar algebraic curve of degree d. This led to Hilbert’s 16th problem which asked for a classification of the topological types of real algebraic curves in the plane. In higher dimensions, we can ask analogous questions and we know very little about the possible topologies of real algebraic hypersurfaces. For example, we do not have a tight upper bound on the number of connected components of a real quintic surface in projective space! In this talk, I will explain the formulation and proof of a conjecture of Itenberg which, for a particular class of real algebraic hypersurfaces, bounds their individual Betti numbers in terms of the Hodge numbers of their complexifications. The real hypersurfaces we consider arise from Viro’s patchworking, which is a combinatorial method for constructing topological types of real algebraic varieties. These bounds are not satisfied by all real algebraic hypersurfaces, so in a sense these bounds prove that the patchworking method is limited. However, the tools used in the proof may offer complete control over the topology of these combinatorially constructed hypersurfaces. This talk is on joint work with Arthur Renaudineau.

I will give an introduction to Higher Teichmuller Theory, and present some recent results in this field. Teichmuller Theory was born as a moduli theory of Riemann Surfaces, or equivalently of hyperbolic surfaces. It is closely related with the Lie group PSL(2,R), the isometry group of the hyperbolic plane. I will explain how ideas from Teichmuller Theory can be used to study and understand the character varieties of surface group representations into simple Lie groups of higher rank. This theory has relationships with all the fields of mathematics, from analysis to differential geometry, from synthetic geometry to complex geometry, from combinatorics to algebra to mathematical physics.

Históricamente, los grupos aparecieron por primera vez como espacios de simetrías globales de algún objeto, por ejemplo, las simetrías del plano teselado por cuadrados. Sin embargo, para describir todos los patrones repetitivos que no provienen de simetrías globales, necesitamos una generalización conocida como grupoides. Además de las simetrías, los grupoides se utilizan como herramientas en geometría, topología, álgebra, etc. En esta charla explicaré las principales nociones que aparecen con los grupoides e ilustraré cómo ellos han sido utilizados a través de algunos ejemplos.

Motivaré e introduciré algunos métodos y conceptos de la geometría algebraica que se están utilizando en los últimos años para analizar modelos estándar en biología molecular. La teoría algebraica de los sistemas de reacciones químicas tiene como objetivo comprender su comportamiento dinámico aprovechando la estructura algebraica inherente en las ecuaciones cinéticas, y no necesita la determinación de los parámetros a priori, que puede ser teórica o prácticamente imposible. También señalaré algunos de los desafíos matemáticos que surgen de esta aplicación.

We propose a general optimization-based framework for computing differentially private M-estimators and a new method for the construction of differentially private confidence regions. Firstly, we show that robust statistics can be used in conjunction with noisy gradient descent and noisy Newton methods in order to obtain optimal private estimators with global linear or quadratic convergence, respectively. We establish global convergence guarantees, under both local strong convexity and self-concordance, showing that our private estimators converge with high probability to a neighborhood of the non-private M-estimators. The radius of this neighborhood is nearly optimal in the sense it corresponds to the statistical minimax cost of differential privacy up to a logarithmic term. Secondly, we tackle the problem of parametric inference by constructing differentially private estimators of the asymptotic variance of our private M-estimators. This naturally leads to the use of approximate pivotal statistics for the construction of confidence regions and hypothesis testing. We demonstrate the effectiveness of a bias correction that leads to enhanced small-sample empirical performance in simulations.

La fórmula clásica de Kunneth en álgebra homológica proporciona un vínculo entre la homología de un espacio producto y la de sus factores. Mostraremos en esta charla una colección de resultados similares para la homología persistente. Es decir, mostramos cómo la homología persistente de un espacio producto filtrado --- diferentes filtraciones en el producto conducen a diferentes fórmulas --- se puede recuperar en terminos de la de sus factores filtrados.

La geometría algebraica estudia las variedades algebraicas, las cuales son los conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas en el espacio afín complejo C^n y en el espacio proyectivo P^n. En esta charla hablaremos de una clase de variedades algebraicas llamadas variedades tóricas las cuales tienen una acción de un grupo llamado el toro algebraico. La motivación para considerar las variedades tóricas es que la acción del toro permite estudiarlas usando una colección de conos convexos llamada un abanico. El principio guía es que todas las propiedades geométricas de la variedad tórica (como por ejemplo suavidad, compacidad y proyectividad), tienen una interpretación concreta en términos de su abanico. Esto permite usar las variedades tóricas como una gran fuente de ejemplos y de intuición para cualquiera que esté interesado en estudiar o aplicar la geometría algebraica.

This paper studies the limits of school choice policies as a result of residential segregation. Using data from the Boston Public Schools choice system, I show that white prekindergarteners are assigned to higher-achieving schools than minority students, and that cross-race school achievement gaps under choice are no lower than would be generated by a neighborhood assignment rule. To understand why choice-based assignments do not reduce gaps in school achievement, I use data on applicants’ rank-order choices to estimate preferences over schools, and consider a series of counterfactual assignments. I find that half of the gap in school achievement between white and Black or Hispanic students is explained by minorities’ longer travel distance to high-performing schools. Differences in demand parameters explain a smaller fraction of the gap, while algorithm rules have no effect.