En esta charla vamos a revisar (y después refinar) el lema de Borel-Cantelli clásico. Dice que el decaimiento suficientemente rápido de probabilidades de eventos implica que el número de intersecciones es finito con probabilidad 1. Sin embargo, en muchas aplicaciones hay cuantificaciones muy finas que se permiten traducir en la existencia de ciertos momentos finitos del conteo de intersecciones de los eventos. Vamos a presentar diferentes resultados y ejemplos de momentos del conteo de intersecciones. Después se aplicarán estas para cuantificar la convergencia casi segura de variables aleatorias. Finalmente se mostrarán situaciones donde esta cuantificación resulta útil, como la ley de los grandes números fuerte con todas las implicaciones estadísticas, la ley de logaritmo iterado y esquemas numéricos estocásticos. Es un trabajo en conjunto con Luisa Estrada.

El Abstract se encuentra como documento adjunto

En esta charla se presentarán algunos resultados clásicos en geometría de contacto y estructuras de Jacobi (asociadas con dimensión impar) y algunas relaciones con las geometrías de dimensiones pares (simpléctica y Poisson). Estos resultados serán un pequeño preámbulo para llegar a una construcción en Jacobi Sigma Model (similar a Poisson Sigma Model) y su integración (trabajo conjunto con I. Contreras y R. Mehta).

Parabolic flows form an intermediate category between elliptic and hyperbolic flows. They exhibit some characteristic associated with non-chaotic systems, and some associated with highly chaotic ones. A fundamental example is the horocycle flow on hyperbolic surfaces and, more generally, homogeneous flows generated by multiplication by a unipotent element on a Lie group. It is much more difficult to produce examples of non homogeneous parabolic flows, since perturbations usually lead to hyperbolic flows. The simplest perturbation, still in the parabolic realm, is given by time-changes. These have been investigated in detail in the case of the horocycle flow and for nilflows. In this talk, we will give a detailed introduction to the classical theory of horocycles and their time-changes, before presenting our result, joint with Livio Flaminio and Davide Ravotti, on rigidity of time-changes of unipotent flows on finite volume quotients of semisimple Lie groups, which generalizes Ratner's classical work on the horocycle flow.

Una variedad algebraica real es el conjunto de ceros reales comunes de un conjunto de polinomios reales (en n variables). En mi charla queremos estudiar la topología de estas variedades. Primero echaremos ojo a “Viro's combinatorial patchworking”, una técnica ingeniosa para estudiar hipersuperficies reales. Después hablaremos de una generalización parcial en codimensión más alta: dada una familia real de variedades algebraicas con “tropicalización suave” daremos una descripción combinatoria de la topología de la fibra real en términos de esta tropicalización y su “estructura real”. Este último es un trabajo en conjunto con Kris Shaw (Oslo) and Arthur Renaudineau (Lille).

We will describe the basics of the moment-SOS approach (initially introduced for global polynomial optimization in early 2000s) and in particular, the hierarchy of semidefinite programs used to approximate the optimal value. In fact, the same methodology also applies to solve (or approximate) Generalized Moment Problems (GMP) whose data are described by basic semi-algebraic sets and polynomials, and whose list of applications is almost endless including various areas of science and engineering (e.g., mathematics, optimization, control, signal processing, probability & statistics, computational geometry, etc.). We will briefly describe some of them.The colloquium will have a second part, entitled 'the Christoffel function' to take place in a specialized seminar in the same week.

Resumen: ¿Cuándo una variedad suave y sin frontera es frontera de otra variedad? Esta pregunta cautivó a muchas personas a principios del siglo pasado y su solución se pudo dar de manera completa a mediados de siglo. En esta conferencia haré un resumen de los principales hitos en dicha solución y explicaré su generalización a variedades con acciones de grupos. 

En 1998 en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos, Dubrovin propuso una conjetura que relacionaba la cohomología cuántica de una variedad Fano con la categoría derivada de haces coherentes de la misma variedad. En esta charla vamos a dar una breve introducción a la conjetura, resaltando su importancia y algunos resultados parciales. Terminaremos con algunas direcciones actuales de trabajo relacionadas con la conjetura en las cuales está involucrado el autor.

First we introduce what is chemotaxis, introduce the mathematical modelling and explain the deterministic setting of the equation. Then we will present the kind of randomness we tackle, i.e. Hilbert space valued Wiener noise. Then we will present our results, about solvability and outline shortly the main ideas of the proof.