Coloquio de Matemáticas

En esta charla hablaré de los métodos para optimizar funciones polinomiales en el hipercubo {-1,1}^n desarrollados a partir del año 2000 (la llamada ''sum-of-squares hierarchy''). Tales métodos combinan la optimización semidefinida y la geometría algebraica real. En la charla describiremos los resultados que se tienen sobre el comportamiento de la jerarquía de sumas de cuadrados en el hipercubo y mostraré algunos resultados recientes sobre espacios métricos finitos doblemente transitivos, que son el contexto natural para entender lo que sabemos sobre optimización en el hipercubo.

En esta charla hablaré de politopos desde el punto de vista combinatorio. Me enfocaré en politopos derivados de matroides y en particular hablaré sobre cómo y por qué calcular volúmenes de dichos politopos. Mencionaré resultados en esa dirección, hechos recientemente con Jerónimo Valencia y Kolja Knauer. No asumiré conocimiento previo de politopos ni de matroides.

TBA

Dentro de la combinatoria aditiva, se estudian los subsemigrupos de los números naturales, o semigrupos numéricos. Todo semigrupo numérico tiene un único conjunto generador minimal. Una construcción natural es el cociente S/d de un semigrupo numérico S por un número d, que se define como el conjunto de números naturales n tales que nd está en S. S/d también es un semigrupo numérico. Podemos definir el rango cociente de S como el mínimo número k tal que S es un cociente de un semigrupo generado por k números. Todavía no se sabe si hay un algoritmo para calcular este parámetro. Sin embargo, veremos varias nuevas formas de acotarlo por arriba o por abajo. Se seguirá que 'casi todo' semigrupo numérico tiene rango cociente igual al número de sus generadores. También veremos la equivalencia entre el rango cociente y otro parámetro más geométrico del semigrupo. Esta charla representa trabajos conjuntos con Christopher O'Neill y Kevin Woods.

El Abstract se encuentra como documento adjunto

Se presentan el programa multidisciplinario de investigación llamado Metamatemática CognitivoComputacional o Inteligencia Artificial Matemática, como la propuesta moderna para poder materializar Agentes Artificiales Matemáticos Universales (AAMU-s). En particular, 1) se presenta el programa de los nuevos fundamentos cognitivo-computacionales de las matemáticas, y algunos adelantos puntuales al respecto, como las Datemáticas o los Números Físicos. 2) La primera taxonomía global de mecanismos cognitivo-metamatemáticos necesarios para la creación matemática formal. 3) Los nuevos paradigmas computacionales (como la computación matemáticoconceptual y la noción de pseudo-pre-código o demostración cognitiva) para poder materializar en un futuro cercano una AAMU en espectros teóricos cada vez más amplios de las matemáticas puras.

El teorema de Riemann dice que si una serie infinita de números reales es condicionalmente convergente, entonces sus términos pueden ser permutados de modo que la nueva serie converja a un número real arbitrario o diverja. Resulta que el mínimo tamaño de una familia de permutaciones necesaria para la conclusión de este teorema es incontable y tiene una conexión estrecha con algunas invariantes cardinales del continuo clásicas. En la charla voy a presentar ideas básicas de la teoría de conjuntos, explicar esta conexión, y mencionar unos teoremas de consistencia.