Coloquio de Matemáticas

A quasi-polynomial is a polynomial with added periodicity: f(t) is a quasi-polynomial if there exists a period m and polynomials f_0, f_1,..., f_{m-1} such that f(t)=f_{t mod m}(t). For example, the floor of t/2 is a quasi-polynomial of period 2: it equals t/2 for t even and (t-1)/2 for t odd. We work through several examples of counting problems whose result is given by a quasi-polynomial. How many points with integral coordinates are there in the triangle with vertices (0,0), (t/2,0), and (t/2,t)? What is the largest integer that cannot be written as a sum of t's, (t+1)'s, and (t+2)'s, for a given integer t? Indeed, this quasi-polynomial property appears in a broad class of counting problems: determining the cardinality of a set defined in Presburger arithmetic (the first-order theory of the natural numbers allowing quantifiers, boolean operations, and linear inequalities). We finally discuss conjectured generalizations of this phenomenon.

El problema de detección de valores anómalos es un problema de enorme importancia en una gran cantidad de problemas y resulta especialmente complejo cuando se consideran grandes volúmenes de datos (posiblemente en espacios de alta dimensión) debido a las limitaciones de tiempo y espacio. Esto se debe a que los métodos usados típicamente están basados en suposiciones distribucionales poco robustas y mal adaptadas a grandes dimensiones o en criterios que requieren comparar entre sí los puntos como por ejemplo los métodos basados en análisis de profundidad, distancias o densidad. Una alternativa que toma cada vez más popularidad es el uso de proyecciones aleatorias, tales como hashing localmente sensible (Locality sensitive hashing o LSH) para encontrar vecindades aproximadas. En esta charla presentaremos una revisión de este tipo de métodos y discutiremos algunos aspectos relacionados con la detección de valores anómalos basados en ellos.

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El problema de decidir si un polinomio con coeficientes reales es no-negativo en una variedad algebraica es un problema central de la geometría algebraica real y de la optimización. En esta charla describiremos nuevas caracterizaciones de polinomios cuadráticos no negativos en variedades generales y de grado arbitrario en curvas algebraicas. Nuestros resultados resuelven problemas clásicos y proveen nuevos algoritmos para optimización eficiente de polinomios multivariados en variedades algebraicas. Estos resultados son trabajo conjunto con G. Blekherman y G.G. Smith.

El grupo fundamental de un espacio topológico punteado (X;x) se puede definir como el grupo de clases de homotopía de lazos basados en x. Es un invariante importante, que aparece por ejemplo en el enunciado de la famosa conjetura de Poincaré. También sirve para clasificar espacios recubridores de variedades topológicas o de superficies de Riemann. En esta charla, daremos una introducción a la noción de grupo fundamental en geometría equivariante, en particular a través del estudio del grupo fundamental de una orbi-variedad desarrollable.

La geometría diferencial discreta es un nuevo campo de las matemáticas que busca encontrar análogos discretos de los objetos y métodos de la geometría diferencial. Acá objetos creados con un número finito de puntos, segmentos y figuras forman curvas y superficies que se analizan como sus contrapartes continuas, buscando entender conceptos como la curvatura, torsión, parametrizaciones, etc. La idea es reconstruir la teoría completa en su versión discreta, no solo traducir los resultados y ecuaciones de la teoría continua. Algunas de las aplicaciones más importantes se encuentran en la visualización gráfica por computador y simulación de objetos. En esta charla, como un primer ejemplo mostraremos como definir la curvatura de curvas y superficies discretas. Luego hablaremos de redes multidimensionales discretas, que son funciones mas generales de $Z^m$ en $\R^n$ con diferentes propiedades geométricas especiales, siguiendo el trabajo de Alexander Bobenko y Yuri Suris (2008).

Given a flow in $R^n$, we consider the possibility of decomposing this flow into a component which is a vertical diffeomorphism and the other component is a horizontal diffeomorphism with respect to the space decomposition $Rˆ{n-k} x R^k$. Obstructions and equations for each component is obtained. The result extends to stochastic flows in a differentiable manifold endowed locally with two complementary foliations. We present techniques which extend the explosion (stopping) time of this decomposition, hence opening the possibility of studying the asymptotic behaviour of each component. (Joint work with P.J. Catuogno, F. B. Silva and L. Morgado.)

Un problema que surge con frecuencia en diversos contextos es el de seleccionar de manera “uniforme” un punto de cada miembro de una familia de conjuntos. Presentaremos algunos ejemplos de esta problemática donde la palabra “uniforme” hace referencia a que la función selectora debe ser Borel-medible (una extensión del concepto de función continua). Veremos la conexión de este problema con los teoremas de uniformización estudiados en teoría descriptiva de conjuntos, con la teoría de Ramsey y, por supuesto, con el axioma de elección.

In this talk we will review recent results for stochastic scalar conservation laws with random flux. In the first part we will focus on a well-posedness theory for the case of spatially inhomogeneous, random fluxes as they appear in mean field games. In the second part we will investigate the long time behavior and regularity of solutions to stochastic scalar conservation laws on the torus. In particular, we will observe a certain regularizing effect due to the noise.