Coloquio de Matemáticas

Tropical geometry is a combinatorial type of geometry that emerges naturally when we look at the classical one in logarithmic coordinates. In my talk, I will present the basic ideas behind this approach and sweeten them up with two important applications: enumerative geometry and the study of real algebraic curves.

En esta charla daremos una introducci�n a los ultraproductos de estructuras discretas y una modificaci�n de la construcci�n que permite tomar ultraproductos de estructuras m�tricas. Un ultraproducto de estructuras finitas es un ejemplo de una estructura pseudofinita y un ultraproducto m�trico de estructuras compactas nos dar� una estructura pseudocompacta. Mostraremos algunos ejemplos y propiedades de estas construccionesr

Dada una variedad diferencial presentar� dos ejemplos de estructuras infinitesimales: los algebroides de Lie y los algebroides de Courant. Mostrar� que tales algebroides dan un contexto para estudiar variedades simpl�cticas, variedades de Poisson y estructuras de Dirac. Adicionalmente, mostrar� como algunas nociones de geometr�a diferencial se pueden transportar al contexto de los algebroides de Lie y de Courant. Si el tiempo lo permite, explicar� c�mo presentar un algebroide de Courant como un algebroide de Lie en la categor�a de dg-variedades

Por Definir

Una fibraci�n consiste de tres espacios (topol�gicos) E, B y F, de manera que se describe a E con copias de F, tantas como puntos de B. Esta parametrizaci�n se hace de manera continua. El ejemplo m�s sencillo de una fibraci�n es el producto, E= BxF. Otro, que no es un producto, es la llamada fibraci�n de Hopf, que permite construir la 3-esfera a trav�s de c�rculos parametrizados por puntos de la 2-esfera. La existencia de este tipo de fibraciones, es decir, cuando E, F y B son esferas, est� �ntimamente ligada con varios problemas en la matem�tica: la clasificaci�n de �lgebras reales, el problema del invariante de Hopf, paralelizabilidad de esferas y la existencia de H-estructuras sobre esferas. El objetivo de esta pl�tica es el de revisar c�mo las soluciones a estos problemas conducen a la clasificaci�n de fibraciones de este tipo.

It is well-known, that irreducible, aperiodic Markov chains on finite space have an exponential upper bound of their convergence towards a unique invariant distribution, where the rate of convergence can be given in terms of the spectral gap of the generating matrix. However these are only upper bounds and often can be replaced by an asymptotically abrupt time scale (in a sense to be explained) along which the total variation distance between the current state and the invariant distribution essentially collapses. This phenomenon is illustrated for some classical examples of card shuffling. In the second part of the talk we present some recent results on cutoff thermalization for the Ornstein-Uhlenstein process in the small noise limits. This is joint work with G. Barrera Vargas (U. Helsinki) and J.C. Pardo Mill�n (CIMAT).

Ciertos grupos de Lie como el grupo de matrices invertible de tama�o mayor que dos y sus ret�culas tienen ciertas propiedades de rigidez', explicare en la charla este concepto de rigidez y su historia, incluyendo teoremas clasicos de los a�os 70 como el teorema de rigidez de Mostow y de Margulis y sus aplicaciones en geometr�a y topolog�a. Tambien discutir� cierto conjunto de problemas llamado el Programa de Zimmer que intenta generalizar estos teoremas.

Los politopos de flujo son una familia de politopos cuyo volumen y puntos reticulares est�n relacionados con teor�a de representaciones, via funciones de partici�n de Kostant. En esta charla introduciremos un nuevo modelo combinatorio usado para el c�lculo del volumen de estos politopos. Este modelo interpreta de manera puramente combinatoria f�rmulas conocidas de Baldoni y Vergne para el c�lculo de dichos volumenes, al igual que f�rmulas de Pitman y Stanley. En particular, nuestro modelo ayuda a obtener f�rmulas elegantes para el volumen de familias particulares de politopos de flujo, las cuales provienen de ciertos grafos que bautizamos grafos caracol.<br<br>Esto es trabajo conjunto con R. Gonzalez, C. Hanusa, P. Harris, A. Morales, M. Yip. No se asumir� conocimiento previo del tema.

�En cu�ntos puntos se intersectan una l�nea recta aleatoria y una curva en el plano? La respuesta a esta pregunta es una invariante de la curva llamada 'grado'. La noci�n de grado se puede extender a figuras de mayor dimensi�n definidas en t�rminos de polinomios (variedades) y es una invariante importante en la interacci�n entre Geometr�a Algebraica y �lgebra Conmutativa. En esta charla dar� un resumen de esta teor�a y sus generalizaciones a variedades en multiespacios. En particular, presentar� resultados recientes en trabajo conjunto con Castillo, Cid-Ruiz, Li, y Zhang.

(Trabajo conjunto con Alexander Arbieto) <br><br>En esta charla introduciremos algunos resultados relacionados con sistemas din�micos, explicando la terminolog�a usada en los resultados y proporcionando interpretaciones geom�tricas para dar un panorama general de los mismos.<br><br>El objetivo ser� estudiar peque�as perturbaciones de ciertos conjuntos llamados seccionales hiperb�licos de campos vectoriales sobre variedades compactas (por ejemplo un toro en $mathbb{R}^3$). Realizaremos una descripci�n de los conjuntos atractores y repulsores, que son conjuntos en la variedad que determinan un comportamiento caracter�stico (din�mica especial) en puntos cercanos a ellos. Esto nos permitir� introducir el concepto m�s general de clase homocl�nica, y presentaremos una cota superior para el n�mero de clases homocl�nicas que pueden surgir de estas perturbaciones. <br><br>El resultado principal extiende algunos resultados previos de finitud en dimensi�n superior para variedades compactas, obtenidos por Morales y Arbieto.<br><br>Referencias:<br><br>[1] Morales C.A. The explosion of singular-hyperbolic attractors. Ergodic Theory Dynam. Systems 24 (2004). no. 2, 577-591<br><br>[2] Arbieto A., Morales C.A., Senos, L. On the sensitivity of sectional-Anosor flows. Math. Z. 270 (2012) no. 1-2, 545-557<br><br>[3] L�pez, A.M. Finiteness and existence of attractors and repellers on sectional hyperbolic sets. Discrete & Continuous Dynamical Systems-A. Vol 37, No. 1 (2017) 337-354

Una variedad real es un espacio compuesto de regiones del espacio euclidiano R^n pegadas por difeomorfismos. Al reemplazar R^n por C^n y difeomorfismos por biholomorfismos (C-difeomorfismos) obtenemos una variedad compleja que se puede ver como una variedad real con 'estructura compleja', es decir con un campo de operadores lineales J tal que J^2 = -I y que satisface la condici�n de integrabilidad. La teor�a de variedades complejas es bien desarrollada y tiene varias aplicaciones, en particular a geometr�a algebraica, geometr�a diferencial y f�sica te�rica.Variedades sobre �lgebras es una generalizaci�n de las variedades complejas. Para un �lgebra conmutativa A podemos definir aplicaciones A-diferenciables entre A-m�dulos y luego definir variedades sobre A reemplazando C por A en la definici�n de variedad compleja. En la charla voy a explicar elementos de la teor�a de variedades sobre �lgebra y contar un poco sobre la historia de su desarrollo, dar ejemplos de variedades reales que admiten la estructura de variedad sobre �lgebra, mostrar relaciones entre estas estructuras y otras estructuras geom�tricas, en particular las foliaciones y los espacios de chorros ('jet spaces').

En esta charla daremos una mirada panor�mica al origen, desarrollo e influencia de las categor�as derivadas en diferentes �mbitos de las matem�ticas. Luego presentaremos algunas de sus aplicaciones en la teor�a de representaciones de �lgebras de dimensi�n finita y mostraremos, sin adentrarnos en los detalles t�cnicos, algunos de los problemas con los que nos hemos topado recientemente.

En esta conferencia compartir� unas reflexiones que he venido organizando sobre las carreras de matem�ticas en el pa�s. Habr� ideas controversiales, as� que los invito a asistir. Los espero.

After a quick overview of the topic, we present some recent developments in the numerical approximation of elliptic partial differential equations with high-contrast multiscale coefficients. In particular we recently introduced a robust upscaling technique known as the generalized multiscale finite element method (GMsFEM). We also present the design of robust two-levels domain decomposition methods that use the GMsFEM method as a second level. In order to show the benefits of using the proposed methodology several applications are considered: two-phase flow in high-contrast multiscale porous media, the free boundary dam problem in heterogeneous media and an elasticity problem in topology optimization.