Me and a blackboard

Johannes Rau

Fachbereich Mathematik
Fakultät der Naturwissenschaften

Universidad de los Andes
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A tropical surface

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Ich arbeite am Fachbereich Mathematik an der Universidad de los Andes, Bogotá, Kolumbien. Mein Forschungsgebiet ist die tropische Geometrie in Verbindung zu enumerativer Geometrie, reeller algebraischer Geometrie und Schnitttheorie. Allgemein liegt mein mathematischer Schwerpunkt in der algebraischen Geometrie, der symplektischen Geometrie und der Kombinatorik. Mehr Details gibt es in den folgenden Abschnitten oder per Email.

Email: j.rau (at) uniandes.edu.co

Aktuell

MCA Session "Tropical Geometry, twistor spaces and cluster geometry"

Aktuell organisiere ich die Special Session "Tropical Geometry, twistor spaces and cluster geometry" für den Mathematical Congress of the Americas 2025 in Miami. Meine Mitorganisatoren sind Helge Ruddat, Lara Bossinger and Lucia Lopez de Medrano. Unter den folgenden Links gibt es weitere Informationen.

CETNAG poster

Colombian Encounter of Tropical and Non-archimedean Geometry

Zusammen mit Pablo Cubides habe ich die Schule und Konferenz "Colombian Encounter of Tropical and Non-archimedean Geometry" organisiert. Hier ist der Link zur Webseite des Events.

LAGARTOS birthday poster

LAGARTOS

Wir organisierten das Latino-Americano Geometría Algebráica Real y Tropical Online Seminario (LAGARTOS). Lagartos sind übrigens Eidechsen.

Patchworking Online

Konstruiere deine eigene reelle algebraische Kurve mit dieser einfachen Browseranwendung.

Buch

Ich schreibe ein Buch über tropische Geometrie zusammen mit Grigory Mikhalkin. Der folgende Link führt zur aktuellen Entwurfsfassung. über Anregungen und Verbesserungen aller Art freue ich mich sehr.

Forschung

Schlagwörter

A real amoeba Mein Forschungsgebiet ist die tropische Geometrie (der Ursprung des exotischen Namens ist recht langweilig – ursprünglich wurde das Adjektiv "tropisch" im Zusammenhang mit der Max-Plus-Algebra zu Ehren des brasilianischen (in Ungarn geborenen) Mathematikers Imre Simon verwendet). Auch wenn die Ursprünge des Gebietes weiter zurück liegen, entstand tropische Geometrie als neue Entwicklung in der algebraischen und symplektischen Geometrie um das Jahr 2000. Meine spezifischen Interessen möchte ich anhand einer kurzen Liste von Stichworten darstellen.

  1. (Reelle) enumerative Geometrie
    • Reelle Hurwitz-Zahlen
    • Abgeleitete Gromov-Witten-Invarianten, Psi-Klassen
  2. Topologie von reellen algebraischen Varietäten
    • Hilberts 16. Problem für nodale Kurven
    • Reelle algebraische Flächen
  3. Schnitttheorie und Hodge-Theorie
    • Tropische Schnittprodukte
    • Matroide
    • Tropische Hodge-Gruppen
    • Rationale äquivalenz
  4. Buch
    Ich schreibe ein Buch über tropische Geometrie zusammen mit Grigory Mikhalkin. Der folgende Link führt zur aktuellen Entwurfsfassung. über Anregungen und Verbesserungen aller Art freue ich mich sehr.
    Tropical geometry (Entwurf)

Dinosaurier und Skelette

Tropische Geometrie für Nicht-Mathematiker

Wir wagen uns hier an einen Vergleich der tropischen Mathematik mit der Welt der Dinosaurier. Wenn Paläontologen mehr über diese Tiere erfahren möchten, können sie nicht einfach in den Zoo oder den Urwald spazieren, denn unglücklicherweise sind die armen Viecher schon vor langer Zeit ausgestorben. Stattdessen arbeiten sie eher wie Archäologen. Sie graben nach den versteinerten Knochen, versuchen die Skelette zu A tropical surface rekonstruieren und ziehen dann Rückschlüsse darüber, wie diese Tiere aussahen, was sie aßen, wie sie jagten usw. In der tropischen Geometrie machen wir genau das Gleiche!

In unserer Welt werden die Dinosaurier "algebraische Varietäten" genannt. Dabei handelt es sich um komplizierte geometrische Formen beschrieben durch polynomiale Gleichungen. Solche algebraische Varietäten tauchen in der Mathematik, den Naturwissenschaften aber auch im echten Leben ständig auf, und daher bildet ihr Studium eines der ältesten und mächtigsten Gebiete der Mathematik (die sogenannte algebraische Geometrie). Algebraische Varietäten sind oft so komplizert, dass es unmöglich ist, sie direkt in den Griff zu kriegen – genau wie bei den ausgestorbenen Dinosauriern. In manchen Fällen haben es Mathematiker allerdings geschafft, die Skelette dieser mathematischen Dinosaurier auszugraben. Konkret muss man die Dinosaurier zunächst in Amöben verwandeln und sie dann so lange verhungern lassen bis nur noch ihre Skelette übrig sind ;).

Diese mathematischen Skelette nennen sich tropische Varietäten (auf diesr Seite finden sich einige Abbildungen davon). In der tropischen Geometrie spielen wir also Paläontologe und versuchen, mehr über die ursprünglichen geometrischen Objekte anhand ihrer tropischen Skelette zu erfahren. Der Vorteil ist, dass tropische Varietäten viel einfacher sind als die ursprünglichen Objekte und daher mit viel elementareren Methoden untersucht werden können. Natürlich vollbringt der tropische Ansatz keine Wunder (es ist einfach, die Größe eines Dinosauriers anhand seines Skelettes abzuschätzen, aber hat er nun eine glatte oder behaarte Haut?), aber mittlerweile gibt es eine Reihe von bemerkenswerten Fakten über algebraische Varietäten, die aus dem Studium ihrer tropischen Skelette geschlussfolgert wurden. Und deshalb ist tropische Geometrie zur Zeit ein spannendes und immer weiter wachsendes Arbeitsgebiet.

Weitere Materialien

Tropische Geometrie für Studenten/Mathematiker aus anderen Bereichen

Du bist Bachelor/Master Student für Mathematik oder Forscher in einem anderen Bereich und möchtest dich auf eine erste Expedition in die Tropen wagen? Dann ist dieses kurze Skript vielleicht das Richtige.

Dieses Skript entstand aus einem Kompaktkurs für Bachelor Studenten ohne Vorkenntnisse zum Thema. Das Level ist darum sehr elementar, und der Schwerpunkt liegt auf Intuition und Veranschaulichung gegenüber Exaktheit und Tiefe.

A combinatorial patchworking of degree 30

Vorträge

Einige Folien mit weiteren Infos zu ein paar Projekten.

Kombinatorisches Patchworking

Einer der Vorläufer der tropischen Geometrie ist Viro's Patchworking Methode. Diese Methode erlaubt es, reelle algebraische Varietäten mit bestimmten topologischen Eigenschaften zu konstruieren. Unter dem folgenden Link findest du eine kleine Browseranwendung, mit der du die Methode selbst ausprobieren kannst.

Damit kannst du deine eigene reelle algebraische Kurve und hübsche Bilder wie das nebenstehende erzeugen. Es zeigt schematisch die (topologische) Form einer ebenen reellen algebraischen Kurve vom Grad 30 (das heißt, die Nullstellen eines Polynoms vom Grad 30 in den Variablen x und y). In den folgenden Folien findest du einige weitere Informationen zu diesem Thema.

Publikationen

Two planes intersect in a line

Artikel

Preprints

[1]

Johannes Rau, Arthur Renaudineau, and Kris Shaw. Real phase structures on tropical manifolds and patchworks in higher codimension. Preprint (2023). arXiv: 2310.08313.

[2]

Jan Draisma, Sarah Eggleston, Rudi Pendavingh, Johannes Rau, and Chi Ho Yuen. The amoeba dimension of a linear space (2023). arXiv: 2303.13143.

Published

[3]

Erwan Brugallé, Lucía López de Medrano, and Johannes Rau. Combinatorial patchworking: back from tropical geometry. Trans. Amer. Math. Soc. (accepted) (2022). arXiv: 2209.14043.

[4]

Johannes Rau. Real semi-stable degenerations, real-oriented blow-ups and straightening corners. Int. Math. Res. Notices 2023.18 (2023), pp. 15896–15927. doi: 10.1093/imrn/rnad005. arXiv: 2203.17097.

[5]

Johannes Rau, Arthur Renaudineau, and Kris Shaw. Real phase structures on matroid fans and matroid orientations. J. Lond. Math. Soc. 106.4 (2022), pp. 3687–3710. doi: 10.1112/jlms.12671. arXiv: 2106.08728.

[6]

Johannes Rau. On the tropical Lefschetz-Hopf trace formula. J. Algebraic Combin. (2023). doi: 10.1007/s10801-023-01220-y. arXiv: 2010.07901.

[7]

Johannes Rau. The tropical Poincaré-Hopf theorem. J. Combin. Theory Ser. A 196 (2023), p. 105733. doi: 10 . 1016 / j . jcta . 2023 . 105733. arXiv: 2007.11642.

[8]

Grigory Mikhalkin and Johannes Rau. Spines for amoebas of rational curves. Enseign. Math. 65 (2 2019), pp. 377–396. doi: 10.4171/LEM/65-3/4-3. arXiv: 1906.04500.

[9]

Jan Draisma, Johannes Rau, and Chi Ho Yuen. The dimension of an amoeba. Bull. London Math. Soc. 52.1 (2020), pp. 16–23. doi: 10.1112/blms.12301. arXiv: 1812.08149.

[10]

Johannes Rau. Lower bounds and asymptotics of real double Hurwitz numbers. Math. Ann. 375.1-2 (2019), pp. 895–915. doi: 10.1007/s00208-019- 01863-y. arXiv: 1805.08997.

[11]

Boulos El Hilany and Johannes Rau. Signed counts of real simple rational functions. J. Algebraic Combin. 52.3 (2020), pp. 369–403. doi: 10.1007/s10801- 019-00906-6. arXiv: 1712.05639.

[12]

Philipp Jell, Johannes Rau, and Kristin Shaw. Lefschetz (1,1)-theorem in tropical geometry. Épijournal Géom. Algébrique 2.11 (2018). doi: 10. 46298/epiga.2018.volume2.4126. arXiv: 1711.07900.

[13]

Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin, and Johannes Rau. Rational quintics in the real plane. Trans. Amer. Math. Soc. 370 (2018), pp. 131–196. doi: 10.1090/ tran/6938. arXiv: 1509.05228.

[14]

Hannah Markwig and Johannes Rau. Tropical Real Hurwitz numbers. Math. Z. 281.1-2 (2015), pp. 501–522. doi: 10.1007/s00209- 015- 1498- 4. arXiv: 1412.4235.

[15]

Mathieu Guay-Paquet, Hannah Markwig, and Johannes Rau. The Combinatorics of Real Double Hurwitz Numbers with Real Positive Branch Points. Int. Math. Res. Not. 2016.1 (2016), pp. 258–293. doi: 10. 1093/imrn/rnv135. arXiv: 1409.8095.

[16]

Lars Allermann, Simon Hampe, and Johannes Rau. On rational equivalence in tropical geometry. Canad. J. Math. 68.2 (2016), pp. 241–257. doi: 10. 4153/CJM-2015-036-0. arXiv: 1408.1537.

[17]

Georges François and Johannes Rau. The diagonal of tropical matroid varieties and cycle intersections. Collect. Math. 64.2 (2013), pp. 185–210. doi: 10.1007/s13348-012-0072-1. arXiv: 1012.3260.

[18]

Johannes Rau. Intersections on tropical moduli spaces. Rocky Mt. J. Math. 46.2 (2016), pp. 581–662. doi: 10.1216/RMJ-2016-46-2-581. arXiv: 0812.3678.

[19]

Hannah Markwig and Johannes Rau. Tropical descendant Gromov-Witten invariants. Manuscr. Math. 129.3 (2009), pp. 293–335. doi: 10.1007/s00229- 009-0256-5. arXiv: 0809.1102.

[20]

Lars Allermann and Johannes Rau. First steps in tropical intersection theory. Math. Z. 264.3 (2010), pp. 633–670. doi: 10.1007/s00209-009-0483-1. arXiv: 0709.3705.

Others

[21]

Johannes Rau. A First Expedition to Tropical Geometry. Lecture notes for a mini course given at the International School on Topological and Geometric Combinatorics, Tehran, Iran, 13–16/02/2017. 2018. url: https://math.uniandes.edu.co/~j.rau/downloads/FirstExpedition.pdf.

[22]

Grigory Mikhalkin and Johannes Rau. Tropical Geometry. textbook in preparation. 2019. url: https://math.uniandes.edu.co/~j.rau/downloads/main.pdf.

[23]

Boulos El Hilany, Johannes Rau, and Arthur Renaudineau. Combinatorial patchworking tool. Javascript applet. 2017. url: https://math.uniandes.edu.co/~j.rau/patchworking/patchworking.html.

[24]

Johannes Rau. Tropical intersection theory and gravitational descendants. PhD-Thesis. Technische Universität Kaiserslautern, 2009. url: http://kluedo.ub.uni-kl.de/volltexte/2009/2370/.

Folien

Ausgewählte Vorträge

  • 17/12/2019 MATRIX conference “Tropical geometry and mirror symmetry”, Creswick, Australia
  • 01/10/2019 Workshop “Regensburg days on non-archimedean and tropical geometry”, Regensburg, Germany
  • 13/09/2019 CMO Workshop “Tropical Methods in Real Algebraic Geometry”, Oaxaca, Mexico
  • 29/04/2019 MFO-Workshop “Tropical Geometry: new directions”, Oberwolfach, Germany
  • 22/01/2019 Seminar “Diskrete Mathematik/Geometrie”, TU Berlin, Germany
  • 16/01/2019 Seminar “Topologie Algèbre et Géométrie”, Université de Nantes, France
  • 03/12/2018 Colloquium talk, Universität Bern, Switzerland
  • 02–04/05/2018 Lecture Series “Tropical methods in real algebraic geometry”, ASGARD math meeting, U Oslo, Norway
  • 22/03/2018 Workshop on Moduli spaces of curves and mirror symmetry, IML Stockholm, Sweden
  • 28/11/2017 Workshop “Young Researchers in String Mathematics”, MPI Bonn, Germany
  • 13–16/02/2017 Lecture series “Tropical geometry”, School on Topological and Geometric Combinatorics, Tehran, Iran
  • 11/01/2016 German-Israeli Workshop in Algebraic and Tropical Geometry, Tel Aviv, Israel
  • 12/06/2015 AMS-EMS-SPM International Meeting, Session on Moduli Theory, Porto, Portugal
  • 01/05/2015 MFO-Workshop “Tropical Aspects in Geometry, Topology and Physics”, Oberwolfach, Germany
  • 18/09/2014 Meeting of the German and Polish mathematical societies, Real Algebraic Geometry workshop, Poznán, Poland
  • 03/04/2013 Seminar “Géométrie tropicale”, Institut de Mathématiques de Jussieu, Paris, France
  • 23/05/2011 Seminar “Géométrie symplectique”, Institut de Recherche Mathématique Avancée, Strasbourg, France
  • 04/04/2008 Combinatorics seminar at the University of Michigan, Ann Arbor, USA

Organisation von Konferenzen

  • 27–31/03/2017 Conference “Tropical curve counts, motivic integration and nonarchimedean geometry”, Universität Tübingen (joint with Hannah Markwig)
  • 14–18/09/2015 Conference “Tropical Geometry in the Alps”, Les Diablerets, Switzerland (joint with Kristin Shaw, Grigory Mikhalkin)
  • 24–28/11/2014 Closing conference of the TROPGEO project, Saas Fee, Switzerland (joint with Grigory Mikhalkin)
  • 20/02/2013 Meeting of the seminar “Tropical Geometry in Europe”, Universität des Saarlandes (joint with Hannah Markwig)
  • 17–20/09/2012 Minisymposium of the DMV annual meeting in Saarbrücken (joint with Hannah Markwig)
  • 18–21/12/2011 Conference “Perspectives in Tropical Geometry 2011”, Arolla, Switzerland (joint with Grigory Mikhalkin)

Lehre

Vorlesungen

2022-02 Algebraische Geometrie
2022-02 Lineare Algebra
2022-01 Abstrakte Algebra 1
2022-01 Lineare Algebra
2021-02 Hodge-Theorie
2021-02 Integralrechnung und Differentialgleichungen
2021-01 Funktionentheorie
2021-01 Integralrechnung und Differentialgleichungen
2020-02 Einführung in die tropische Geometrie
2020-02 Integralrechnung und Differentialgleichungen
2020-01 Integralrechnung und Differentialgleichungen
Winter 19/20 Tropische Enumerative Geometrie 2
Sommer 19 Analysis 1
Sommer 19 Tropische Enumerative Geometrie 1
Winter 18/19 Tropische Geometrie
Sommer 18 Algebraische Geometrie I
Winter 17/18 Lineare Algebra I
Winter 17/18 Studiengrundlagen Mathematik für Geflüchtete
Sommer 17 Algebraische Geometrie I
Sommer 17 Studiengrundlagen Mathematik für Geflüchtete
Winter 16/17 Tropische Hodge-Theorie
Sommer 16 Reelle algebraische Kurven
Winter 15/16 Lineare Algebra I
Sommer 15 Algebra
Sommer 14 Algebraische Geometrie II
Winter 13/14 Algebraische Geometrie I
Sommer 13 Algebra
Winter 12/13 Enumerative Geometrie

(Pro-)Seminare

2022-02 Hodge-Theorie für Matroide
Sommer 16 Von der hyperbolischen Ebene zur Knotentheorie

Arbeitsgruppenseminare

2020-01 Matroids and tropical geometry
Sommer 17 Topologische Rekursion
Winter 16/17 Topologische Rekursion
Sommer 16 Integrable Systeme und tropischen Geometrie
Winter 15/16 Modulräume log-stabiler Abbildungen
Sommer 15 Cluster-Algebren
Sommer 14 Derivierte Kategorien
Winter 13/14 Zufallsmatrizen und Hurwitz-Zahlen
Sommer 13 Modulstacks von algebraischen Kurven
Winter 12/13 Berkovichräume
A real nodal quartic

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Gluing pairs of pants

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Departamento de Matemáticas
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Carrera 1 # 18A - 12
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Fon: +57 1 3394949
Ext: 2722

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