The Dirac equation as well as the Schrödinger equation has played an important role in quantum mechanics. However, there are many differences between them from the view of the theory of partial differential equations. For example, Schrödinger operators

are bounded below in many cases, while Dirac operators

are usually unbounded below and above. Here c > 0 is the velocity of light, m the rest mass of the particle, and V(x) is a real-valued potential, which is one of difficulties to study the Dirac operator.

I will like to give survey lectures on the spectral theory of Dirac operators, which I have been interested in. We will introduce some important results on the following questions:

1. If V(x) has a singularity like the Coulomb potential V(x) = e/r at the origin, is H essentially selfadjoint?

2. If V(x) decays at infinity, is the spectrum absolutely continuous in the complement of the interval

   [-mc2, mc2]  ?

3. If V(x) diverges at infinity, how is the spectrum of H? Then, is the spectrum of H concentrated at some eigenvalues of S in the non-relativistic limit c →∞?

4. Do any embedded eigenvalues exist in the continuous spectrum in the above cases (2) or (3)?

Concerning the problem of (2) we would like to mention also some results of Dirac operators in the Kerr-Newman metric.

En mecánica cuántica la ecuación de Dirac y la ecuación de Schrödinger juegan un papel muy importante. Sin embargo, vistos desde el punto de vista de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales existen algunas diferencias entre las dos.

Por ejemplo, los operadores de Schrödinger

están acotados por debajo en muchos casos, mientras que los operadores de Dirac

generalmente no están acotados ni por arriba ni por abajo. En la fórmula c es la velocidad de la luz, m la masa de la partícula en reposo y V(x) es un potencial de valor real, que a la hora de estudiar el operador de Dirac es donde surgen las mayores dificultades.

En mis charlas se estudiará la teoría espectral de los operadores de Dirac, en la cual estoy interesado. Introduciremos algunos resultados importantes respecto a los siguientes puntos:

1. Si V(x) tiene una singularidad en el origen, como por ejemplo el potencial de Coulomb, entonces H es esencialmente auto-adjunto?

2. Si V(x) decae en infinito, el espectro es absolutamente continuo en el complemento del intervalo

   [-mc2, mc2]  ?

3. Si V(x) diverge en infinito, como es el espectro de H? En este caso, el espectro de H está concentrado en algún valor propio de S en el límite no relativista ?

4. El espectro continuo contiene valores propios para los casos (2) y (3)?
   

Respecto al problema (2) me gustaría mencionar también algunos resultados del operador de Dirac en la métrica de Kerr-Newman.