El toro plano se obtiene identificando por traslaciones los lados opuestos de un cuadrado unitario en el plano. Si escogemos una dirección al azar y seguimos la linea en esa dirección en el toro, esta va a ser densa. Además hay una manera natural de aproximar un pedazo largo de la geodésica con otras geodésicas cerradas, y esta aproximación se puede cuantificar.
Una superficie de traslación es una generalización a genero más alto del toro, por ejemplo tomando un octágono regular y identificando por traslaciones sus lados opuestos. En este contexto también nos podemos preguntar ¿qué con una geodésica "genérica"? ¿Si es densa, hay una manera de aproximarla por geodésicas cerradas en manera cuantitativa?
Estas preguntas son el comienzo de una larga y bella historia que conecta dinámica, geometría y combinatoria. En esta charla voy a hablar un poco sobre el trabajo de Zorich en este contexto, explicando también otras motivaciones.

En todos los tiempos, la criptografía ha sido indispensable en los asuntos políticos, diplomáticos, económicos y militares. En esta época, en la que la información está digitalizada, juega un rol aún más importante. La llegada de los computadores cuánticos trae nuevos retos y amenazas y debemos estar preparados. En la charla se hará una introducción de la criptografía, desde la clásica hasta la post-cuántica y profundizaremos en la criptografía basada en teoría de códigos.

The theory of almost periodic functions, originally due to Harald Bohr, is a generalisation of the concept of pure periodicity. Almost periodic functions appear quite naturally in several areas of pure and applied mathematics. In this talk we shall first present some basic results of this theory and later we shall give a random construction, adapted from a process introduced for the integer numbers by Yitzhak Katznelson, which produces almost surely uniformly discrete (and actually rather "sparse") subsets of the real line on which two almost periodic functions cannot agree. This last property makes these sets a convenient tool in the process of sampling almost periodic functions. The original results presented are joint work with Jorge Galindo and Camilo Gómez.

En esta charla voy a introducir la teoria matematica de reacciones quimicas en biologia, con aplicaciones al control de quimicos de interes independiente de valores arbitrarios de parametros. Los resultados estan basados en la idea de la deficiencia de un sistema quimico. El control se puede llevar a cabo en el regimen deterministico tanto como el regimen estocastico que tiene lugar cuando el numero de moleculas es bajo.

If a manifold displays a 'not too big' set of singularities, we can still use conventional tools to study analysis on it. However, there is also a demand for an understanding of spaces that are 'everywhere rough at many scales' and no longer tractable by such tools, for instance in Nanotechnology, condensed matter physics or molecular biology. In mathematics there are several approaches to analysis on spaces that do not carry any differentiable structure, for instance via Lipschitz functions and upper gradients (Cheeger, Heinonen et al). We will give a gentle introduction to another approach via energy forms and probability, created in the late 80's by Goldstein, Kusuoka, Barlow, Bass and Kigami, flexible enough to work for Sierpinski gaskets or carpets, certain Julia sets and random fractals. We will also briefly explain some more recent results.

En esta charla introduciremos algunas conexiones históricas entre las matemáticas puras y las ciencias de la computación, en particular las aplicaciones a verificación de programas y criptografía, haciendo énfasis en algunos resultados de imposibilidad y problemas abiertos. Estas conexiones tradicionalmente pertenecen al área de las matemáticas discretas (lógica y álgebra principalmente). Por último introduciremos conexiones más recientes entre las matemáticas continuas y el ámbito de la seguridad de procesos de control industrial y adversarial machine learning

In Differential Geometry the so-called procedure of reduction refers to finding suitable conditions in order for a quotient of a manifold (or vector bundle) under the action of a Lie group (or Lie algebra) to inherit the properties or structures of the original space. The classical cases include, among others, Symplectic and Kähler reduction.
On the other hand, these reductions involve the presence of moment maps which are objects arising from Hamiltonian Mechanics. For example, if the phase space is modeled by the manifold R²ⁿ endowed with the standard symplectic form ∑_i=1ⁿ dx_i ∧ dy_i, then the classical Hamiltonian H = kinetic energy + potential energy fairly describes the components of the underlying moment map.
In the first place, we shall give a short presentation of these well-known ideas, followed by a very brief portrait of certain extensions of the tangent bundle of a manifold known as exact Courant Algebroids. In the second place, we will introduce the concepts of extended actions and abstract moment maps that appropriately generalize the above-mentioned notions, following the work of H. Bursztyn, G. Cavalcanti, and M. Gualtieri, as well as that of V. Guillemin, V. Ginzburg, and Y. Karshon. Finally, if time permits, we might comment on some consequences and/or applications.

Los problemas de tipo ecuacional son cruciales en matemáticas y computación, donde generalmente son formulados sobre operadores que satisfacen propiedades algebraicas simples como asociatividad y conmutatividad. En la charla se revisarán problemas como verificación de igualdad, matching y unificación y se discutirá trabajo en desarrollo sobre cómo abordar estos problemas con un tratamiento sintáctico y lógico denominado "nominal".

Considere curvas simples y diferenciables en el plano. Usando el producto interno canónico y aproximando poligonalmente una curva -yendo en dirección tangente a lo largo de ella- se puede calcular su longitud. También podemos calcular ángulos entre curvas. Además, cambiar de producto interno (geometría) implica algún cambio en la curvatura de las curvas. Esta idea puede extenderse con objetos de dimensiones más altas, considerando el espacio tangente en cada punto, un producto interno que varía de manera diferenciable alrededor de cada punto y una noción análoga de curvatura. Interesa saber si un objeto geométrico puede ser 'deformado' para que tenga curvatura constante, y clasificar todos los de tal curvatura. En superficies esto conduce al Teorema de Geometrización de superficies cerradas. Para dimensiones más altas, cambiando conformemente el producto interno, se le conoce como el Problema de Yamabe, cuyo planteamiento se remonta a 1960 y su solución (caso compacto) hasta 1985. A saber, tales deformaciones existen, pero no necesariamente de manera única y la clasificación no se conoce. En esta plática explicaremos con más detalle en qué consiste el problema de Yamabe y cómo es que se vuelve un problema de ecuaciones diferenciales. Adicionalmente, daremos algunas preguntas abiertas relacionadas.

En esta charla presentaremos dos conceptos fundamentales hoy en día en teoría de modelos, ultraproductos y estabilidad. La idea es dar una idea de cómo estos conceptos se utilizan en combinatoria, hablando del Teorema de Regularidad de Szemerédi y (si alcanza el tiempo) el Teorema de Subgrupos Aproximados de Hrushovski.

The Earth is a complex dynamic system subjected to both internal and astronomical forcing, and its responses, which cover a variety of spatial and temporal scales, can be difficult to model. Weather systems for example are famously nonlinear and difficult to predict because of the variety of inputs and the sensitivity to initial conditions; however even to understand some types of behaviour in the apparently well-behaved "solid" Earth we often need to use advanced mathematical and computational modelling techniques. From nonlinear differential equations to time series, statistics and inverse theory, applied mathematics play a fundamental role many fields in the Geosciences, in which the goal is to understand the formation and evolution of the Earth, the processes that govern earthquakes and volcanic eruptions, the generation of the geomagnetic field, past and present climates, Earth's relationship to other astronomical bodies, and the imaging techniques we use to explore its interior. The field of mathematical geosciences is huge: I will show just a few examples of the applications I and some of my colleagues have used in order understand the behaviour of our planet.

Alexander Grothendieck (1928-2014) is widely recognized for his contribution to the development of Algebraic Geometry. However, his career began in Functional Analysis. Grothendieck's Ph.D. thesis develops the theory of tensor products of Banach spaces. This work has a profound impact on the theory of Banach spaces and its influence extends to a wide range of areas. In this talk, we will discuss Grothendieck's fundamental question about the existence of "almost" Euclidean subspaces, of arbitrary dimensions, in any Banach space and the beginning of the local theory of Banach spaces. If time allows, I will also present the basics about tensor products of Banach spaces.