Tener material en internet para consultar ejercicios no es algo nuevo; existe una gran cantidad disponible. Pero lo que me interesa destacar aquí es la labor de aprender matemáticas. La Facultad de Economía de la Universidad de los Andes nos invitó a dar una charla a sus estudiantes de primer semestre sobre qué significa aprender matemáticas y qué estrategias pueden ayudar en ese proceso. Fue una experiencia más reflexiva que técnica. Con el tiempo, a partir de esa charla y de mi propia práctica, fui desarrollando ideas, pensamientos y algo de contenido relacionado con un ejercicio que llevo realizando desde hace tiempo. Creo que este apartado complementa muy bien el material disponible en la página y, más allá de eso, puede funcionar como un manual de uso.
Lenguaje
La primera idea que quiero transmitir es que las matemáticas son, ante todo, lenguaje. Cuando hacemos matemáticas, de una forma u otra, estamos usando un lenguaje. Las matemáticas constituyen un subconjunto del lenguaje cotidiano —ya sea en español, inglés, catalán, portugués, etc.— y, como cualquier lenguaje, tienen sintaxis, fonética, morfología, semántica y pragmática. Comienzo por aquí porque, al comunicarme con matemáticas, debo hacerlo con precisión en el uso del lenguaje. De lo contrario, el mensaje se vuelve confuso, ilógico o incluso falso. Entre los distintos niveles de dificultad que enfrentan los estudiantes al aprender matemáticas, uno de los más serios ocurre cuando el estudiante no es capaz de leer lo que ha escrito. Por ejemplo, si alguien se me acerca con la ecuación $x^2 - 6x + 7 = 0$, pero no puede leerla o interpretarla, es probable que no comprenda los símbolos que ha utilizado. Tal vez los copió del enunciado del ejercicio, del tablero o de algún otro lugar. Si desea estudiar las soluciones de ese problema, será difícil que entienda lo que está haciendo. Probablemente resolverá el ejercicio por imitación: seguirá una secuencia de pasos que lo conducirán a la respuesta correcta, pero sin comprender por qué funcionaron. Esta forma de resolver limita la capacidad de aplicar lo aprendido en nuevos contextos, porque no se reconoce qué está escrito ni por qué se eligió un método específico. En otras palabras, no se domina el lenguaje en el que se está trabajando; incluso puede que el estudiante no haya notado que estaba utilizando un lenguaje.Dicho esto, para empezar a aprender matemáticas es necesario conocer y comprender los términos y las reglas de ese lenguaje. Por eso en matemáticas introducimos definiciones: para tener claro el significado de los elementos con los que trabajamos. Definimos qué es un número natural, luego qué es un número entero, un número racional, etc. A partir de estos términos establecemos ciertas reglas que rigen nuestro lenguaje. Por ejemplo: podemos sumar dos números naturales y obtener otro natural; podemos sumar y restar números enteros y seguir en el conjunto de los enteros; podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales y seguir obteniendo racionales. Finalmente, aparecen los teoremas, que son consecuencias lógicas que se obtienen a partir de los términos y las reglas previamente definidas. Por ejemplo: si el producto de dos números racionales es cero, entonces al menos uno de ellos debe ser cero; o: para todo número racional distinto de cero, existe otro número racional cuyo producto con el primero es uno. Así, vamos enriqueciendo nuestro lenguaje.
Aprender
Dejando atrás la discusión sobre las matemáticas como lenguaje, pasamos ahora al tema del aprendizaje en matemáticas. Entiendo el aprendizaje como un ejercicio cíclico, en el que se parte de una teoría, se realiza una práctica, se experimenta una disonancia cognitiva, y se vuelve nuevamente a la teoría, repitiendo el proceso. Resalto tres momentos clave en ese ciclo, expresados como tres necesidades:- Necesitamos de la teoría para comprender los términos, las reglas y los resultados que tenemos a disposición. También para entender qué hacemos, cómo lo hacemos y por qué lo hacemos.
- Necesitamos de la práctica para validar los conceptos teóricos y para descubrir conexiones entre conceptos y teorías.
- Necesitamos equivocarnos y recibir retroalimentación, porque reconocer un error —entender por qué es un error, dónde están los puntos débiles o fuertes— nos permite fortalecer nuestro conocimiento teórico. A esto lo conocemos como disonancia cognitiva.
Fallar ha dejado de verse como una opción dentro del proceso de aprender matemáticas; se ha convertido, para muchos, en una señal de fracaso que los lleva a cuestionar su camino académico e incluso a pensar en abandonar. Así, una fase fundamental del aprendizaje ha sido transformada en el epílogo de toda actividad. Sin embargo, no hay oportunidad más poderosa para aprender que cuando se comete un error. En matemáticas, lamentablemente, el error ha sido estigmatizado hasta el punto de convertirse en el detonante de episodios de ansiedad.
El aprendizaje como un ciclo continuo.
Temor al error
No se aprende todo a la primera; necesitamos adquirir experiencia para desarrollar intuición y pericia en los temas que queremos aprender. Una clase teórica es impartida por alguien no solo desde su conocimiento de la teoría, sino —más importante aún— desde su comprensión basada en la experiencia. Una afirmación, una idea o un resultado pueden transmitirse por distintos medios, pero la experiencia no. Esa debe ser cultivada por cada persona, a través de la práctica, como parte de un compromiso personal con su proceso de aprendizaje. Es a partir de esa acumulación de vivencias que se llega a la experticia, eso que probablemente percibes en quien imparte una clase.En matemáticas, como en cualquier otro proceso de aprendizaje, se requiere cometer errores para alcanzar la meta. No tengo del todo claro cómo se ha desarrollado ese temor generalizado hacia las matemáticas, pero sé que muchas personas creen sinceramente que no podrán aprenderlas. Ese es otro tema —interesante, sin duda— que no abordaré aquí. Lo que sí me interesa señalar es que necesitamos naturalizar el error y verlo como parte integral del aprendizaje en matemáticas, aprovechando esas situaciones de conflicto (la llamada disonancia cognitiva) como oportunidades para crecer. Lo que he observado con frecuencia en los estudiantes es que el temor al error se intensifica porque no saben cómo planear una sesión de estudio. En muchos casos, confunden otras acciones con estudiar.
No sabemos estudiar
Estudiar no es leer los ejemplos del libro o de mis notas de clase y decir que los entendí. Tampoco es copiar un ejercicio, pasarlo por una IA y luego “entender” la solución que esta entregó. No es contratar a alguien para que me repita la teoría y me muestre cómo resolvió un ejercicio. No es hacer dos ejercicios simples y asumir que eso basta. Y definitivamente, no es pretender aprender todo el contenido del examen en una maratón de cuatro o cinco horas.En la mayoría de estas situaciones, lo único que se valida es que sé leer: el libro, las notas, la IA o la persona contratada probablemente se expresaron tan bien que logré comprender el mensaje en mi lengua natural de comunicación. Si te digo ahora: «Todos los puntos están en línea», seguro puedes leerlo sin dificultad, pero ¿entiendes por qué lo dije? ¿Para qué? ¿En qué contexto esta frase tiene sentido?
Estudiar requiere una estrategia sana, replicable y efectiva. No hay una única fórmula que funcione para todos, pero sí hay elementos comunes. Uno de ellos es el método de Feynman:
Richard Phillips Feynman, 1984. Tomado de Wikimedia Commons.
- Lea la teoría con atención y detenimiento.
- Practique y escriba sobre lo que entendió, como si se lo explicara a usted mismo o a alguien más.
- Identifique los conceptos que no le quedaron claros, dudas o puntos donde no logra explicar correctamente.
- Vuelva a la teoría, revise, investigue o corrija esos errores o vacíos.
- Intente explicar el tema nuevamente, con un lenguaje más simple o usando analogías.
Veamos un ejemplo concreto: aprender a operar fracciones numéricas usando el método de Feynman.
- Empiezo leyendo o atendiendo la clase sobre suma y resta de fracciones. Me explican las reglas, dan ejemplos y advierten errores comunes. Durante la clase, tomo notas. Fuera de clase, repaso mis notas, consulto el libro y refuerzo lo aprendido.
- Paso a practicar. Intento recordar sin ayuda qué reglas había y cómo se aplicaban. Hago algunos ejercicios, prestando atención a cómo escribo cada paso. Mientras resuelvo, me explico en voz alta —como si hablara conmigo mismo— qué estoy haciendo.
- Surgen dificultades. No sé cómo manejar operaciones como $$-1/2 - 3/4 + 1/5,$$ o me confundo con expresiones más complejas como: $$1 + \frac{4 + \frac{5}{2}}{2 + \frac{5}{4}}.$$
- Reconozco estos vacíos. Reviso cómo se suman y restan fracciones, cómo se simplifican, y me doy cuenta de que es mejor operar dos fracciones a la vez antes de agregar una tercera. Aun así, la fracción anidada me cuesta. Entonces pido ayuda: al profesor, al asistente o a un compañero. Me explican que conviene resolver primero $4 + 5/2$, luego $2 + 5/4$, dividir ambos resultados, simplificar si es posible y por último sumar el 1 de la expresión original.
- Superado el obstáculo, continúo practicando y reforzando la teoría. Sigo explicándome el procedimiento en voz alta o con alguien más. Escribo y, cuando aparecen nuevas dudas, repito el ciclo.
El ejercicio de hablar y escribir
Mi etapa como estudiante universitario fue sin duda provechosa, pero donde realmente más he aprendido ha sido en mi experiencia como docente. Revisar una teoría no solo para comprenderla, sino también para transmitirla a otras personas, representa un reto pedagógico valioso. En este proceso he encontrado una estrategia que me ha dado grandes resultados: escribir y hablar.Necesito redactar las clases que planeo impartir, porque eso me obliga a pulir las ideas y pensar en la forma más clara en que alguien podría comprenderlas. Esto me permite encontrar ejemplos adecuados para desarrollar los conceptos con mayor efectividad.
Notas de preparación de una clase de cálculo diferencial.
Junto a la escritura, la oratoria también es una herramienta fundamental. Intente explicar en voz alta aquello que está estudiando; mucho mejor si lo hace frente a otra persona. Descubrirá lo útil y esclarecedor que puede ser expresar su conocimiento en palabras. Personalmente, incluyo este ejercicio como parte esencial de mi preparación docente.
Aprenda a descansar
Hoy en día existe un mercado para todo, incluyendo métodos de estudio intensivo. Una oferta que he visto con frecuencia son las llamadas maratones de estudio: sesiones de cuatro, cinco o incluso más horas en las que una persona repasa los temas de un parcial y resuelve ejercicios con la promesa de dejarte preparado para el examen. Con el tiempo he notado que algunos estudiantes que asisten a estas maratones comparten ciertas características:- Piensan en los procedimientos matemáticos como si fueran recetas fijas.
- No pueden resolver un problema si no está formulado exactamente como lo vieron antes.
- Cometen errores básicos o confunden métodos entre sí.
Un cómic de Sarah Andersen, Sarah's Scribbles.
Para finalizar
Recuerde que cualquier proceso de aprendizaje requiere tiempo y paciencia. En el camino, desarrollará habilidades que usará de manera consciente e inconsciente tanto en la academia como en su vida profesional. Aprender también implica empujar sus propios límites, explorar nuevas ideas y atreverse a entrar en esa zona de incomodidad donde realmente ocurre el crecimiento. Ahí es donde descubrimos que siempre hay más espacio para aprender.Para resumir algunos puntos clave de este texto:
- Defina un plan de estudio.
- Estudie de forma constante: una hora diaria con descansos de 15 minutos.
- Lleve un registro de los errores que comete.
- Lea, escriba y hable sobre lo que estudia.
- No pretenda entender todo a la primera.
- Repase temas anteriores de vez en cuando.
- Practique sin miedo a equivocarse.
- Duerma bien y aliméntese de forma saludable.
- Y lo más importante: sea amable consigo mismo.