Pautas para la presentación de los exámenes del curso
Pautas para el primer examen parcial.
Dada una ecuación diferencial de primer orden y una función, determinar si esta última es o no es solución de la primera.
Dada una ecuación de primer orden de variables separables y un punto en el plano, hallar la curva integral de la ecuación que pasa por el punto.
Dada una familia de curvas en el plano, construir una nueva familia de curvas, ortogonal a la primera.
Dada, en castellano, una descripción de las propiedades geométricas de una curva incógnita, plantear la ecuación diferencial correspondiente y resolverla.
Dada la tasa del interés bancario anual y el monto del préstamo, hallar el valor de las cuotas fijas para pagar la deuda en k años, suponiendo que el interés compuesto se capitaliza de manera continua.
Dada la temperatura de un cadáver recién fallecido, junto con la temperatura del medio ambiente, determinar el momento de la muerte.
Resolver una ecuación de desintegración radioactiva.
Determinar la velocidad, como función del tiempo, para el movimiento en un campo de gravitación no homogénea y con resistencia de aire.
A partir de las propiedades geométricas de la cicloide, establecer la relación funcional (no paramétrica) entre su abscisa y su ordenada.
Verificar que la curva generatriz de las antenas satelitales es una parábola.
Dada una familia de curvas en el plano, construir una nueva familia de curvas que forme un ángulo dado con la primera.
Utilizando factores integrantes que dependen de una sola variable, reducir la ecuación diferencial dada a una ecuación exacta y resolverla.
Dada una ecuación (no necesariamente lineal) de segundo orden con ausencia de la variable independiente (o de la variable dependiente), reducirla a una ecuación de primer orden y resolverla.
Pautas para el segundo examen parcial.
Dadas dos soluciones de una ecuación lineal de segundo orden que poseen un cero común en un intervalo dado, probar que una es múltiplo constante de la otra en ese intervalo.
Determinar para cuáles funciones su dependencia lineal equivale a la nulidad del Wronskiano.
Dada una solución de la ecuación lineal de segundo orden, hallar otra solución linealmente independiente con la primera.
Dada una ecuación lineal no-homogénea de segundo orden de coeficientes constantes, hallar una de sus soluciones particulares por el método de los coeficientes indeterminados.
Dada una ecuación lineal no-homogénea de segundo orden de coeficientes variables, hallar una de sus soluciones particulares por el método de variación de parámetros, conociendo las dos soluciones de la ecuación homogénea.
Utilizando el método de la reducción de orden, resolver el problema de la pauta anterior conociendo sólo una de las dos soluciones de la ecuación homogénea y comparar la eficacia de los dos métodos.
Para el problema de los osciladores armónicos acoplados, plantear un sistema de dos ecuaciones lineales de segundo orden, obtener una ecuación de cuarto orden y resolverla.
Pautas para el tercer examen parcial.
Utilizar el concepto de la transformada de Laplace para justificar la extensión de la definición del factorial para los números no-enteros.
Dada una transformada de Laplace, encontrar la función que generó esa transformada.
Utilizar el método de la transformada de Laplace para resolver una ecuación integro-diferencial de primer orden.
Utilizar el método de la transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden con la fuerza exterior discontinua y periódica.
Utilizar el teorema de la convolución para hallar la transformada inversa de Laplace para un producto de funciones.
Utilizar el método de la transformada de Laplace para calcular las integrales de Fresnel.
Pautas para el cuarto examen parcial.
Comprobar la ortogonalidad de las funciones trigonométricas seno y coseno.
Descomponer una función par en una serie de Fourier de cosenos.
Descomponer una función impar en una serie de Fourier de senos.
Descomponer una función en una serie de Fourier de senos y cosenos en un intervalo arbitrario.
Descomponer una función en una serie de Fourier de funciones ortogonales arbitrarias.
Probar el análogo del teorema de Pitágoras para una familia infinita de funciones ortogonales.
Para las funciones continuas, comprobar que la serie de cuadrados de sus coeficientes de Fourier, es convergente.
Verificar que cualquier modo de vibración de la cuerda de una guitarra, es superposición de las vibraciones elementales.
Hallar las funciones propias para el problema de vibraciones transversales de una cuerda que es fija sólo en uno de sus extremos.
Utilizando el método de la separación de variables, resolver la ecuación de transmisión de calor para la condición inicial que es una combinación lineal finita de las funciones propias del problema.
Utilizando el operador de Laplace en coordenadas polares, solucionar el problema de vibraciones de una membrana circular.
Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales para el caso de coincidencia de las multiplicidades algebraica y geométrica de las raíces características reales de la matriz generadora.
Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales para el caso de diferencia de las multiplicidades algebraica y geométrica de las raíces características reales de la matriz generadora.
Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales para el caso de raíces características complejas de la matriz generadora.
Resolver un sistema no-homogéneo de ecuaciones diferenciales de primer orden.