\documentclass[10pt]{report}
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\input{uebungen-measure.def}  %%% available on request
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\thema{Espacios $\mathscr L_p$.}
\datum{18 de mayo de 2018}
\vorlesung{Teor\'ia de Medida e Integraci\'on}
\setcounter{seriennummer}{13}

\begin{document}


%%%%------------<<<>>>-----------------------
%% Para hacer la tabla con el puntaje
 \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
    \node[anchor=north east, xshift=-1.5cm, yshift=-1.5cm] at (current page.north east) {
    \addtolength\tabcolsep{.2cm}
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c}
       1&2&3&4&$\Sigma$\\ \hline
       \rule{0cm}{.6cm}&&&&
    \end{tabular}
    };
 \end{tikzpicture}
%%%%------------<<<>>>-----------------------


\begin{serie}
\begin{aufgaben}

%%% 1. Aufgabe %%% {{{
\aufgabe
\label{M14:1}
Sea $f:[a,b]\to \C$ una funci\'on absolutamente continua.
Demuestre que es de variaci\'on acotada.

%%% }}}

%%% 2. Aufgabe %%% {{{
\aufgabe
\label{M14:2}
Sean $0 < p_1 < p_2 < \infty$.

\begin{teilaufgaben}
   \teilaufgabe
   Si $(X,\, \FA,\, \mu)$ es un espacio de medida con $\mu(X) < \infty$, entonces $\mathscr L_{p_2}(\mu) \subset \mathscr L_{p_1}(\mu)$.

   \teilaufgabe
   Si $X$ es contable (finito o infinito) y $\mu$ la medida de conteo sobre $X$, entonces $\mathscr L_{p_1}(\mu) \subset \mathscr L_{p_2}(\mu)$.
   \\
   Si $X$ es infinito contable, se cumple la inclusi\'on estricta $\mathscr L_{p_1}(\mu) \subsetneq \mathscr L_{p_2}(\mu)$.

\end{teilaufgaben}

%%% }}}

%%% 1. Aufgabe %%% {{{
\aufgabe
\label{M14:3}
Sean $f,\ g: \R^s \to \R$ funciones continuas. Muestre:

\begin{teilaufgaben}
   \teilaufgabe
   Si $f=g$ en $\lambda^s$-casi todas partes, entonces $f=g$.

   \teilaufgabe
   $\esssup f = \sup |f|$.
\end{teilaufgaben}

%%% }}}

\end{aufgaben}
% \vspace*{2ex}

\bigskip\hrule\bigskip
Sea $\phi\in C^\infty_c(\R^s)$ con $0\le\phi\le1$ y
\begin{equation*}
   \text{(a)}\quad\phi(x) = 0\; \text{para}\; |x|\ge 1,
   \hspace*{2cm}
   \text{(b)}\quad \int_{\R^s} \phi\,\rd x = 1.
\end{equation*}

Para $\eps > 0$ defina\;
   $\displaystyle \phi_\eps:\R^s \to \R,\quad
   \phi_\eps (x) := \eps^{-s} \phi(x/\eps).
   $

Entonces 
$\phi_\eps\in C^\infty_c(\R^s)$, $0\le\phi\le \eps^{-s}$ y
\begin{equation*}
   \text{(a)}\quad\phi_\eps(x) = 0\; \text{para}\; |x|\ge \eps,
   \hspace*{2cm}
   \text{(b)}\quad \int_{\R^s} \phi_\eps(x)\,\rd x = 1.
\end{equation*}
una familia de \emph{mollifiers},
\medskip

La \define{convoluci\'on} de funciones $f,g$ se define formalmente como 
   $\displaystyle (f\conv g)(x) = \int_\R f(x-y)g(y)\,\rd y$.
% \begin{equation*}
%    (f\conv g)(x) = \int_\R f(x-y)g(y)\,\rd y.
% \end{equation*}


\medskip\hrule\bigskip

\begin{aufgaben}
   \setcounter{aufgabennummer}{3}
%%% 4. Aufgabe %%% {{{
\aufgabe
\label{M14:4}

Sean $1\le p< \infty$, $f\in\mathscr L_p(\R^s)$ y $\phi$ y $\{\phi_\eps\, :\, \eps > 0\}$ como arriba.
Muestre:

\begin{teilaufgaben}
   \teilaufgabe 
   $\phi( y - \cdot\,)\cdot f(\cdot)\in\mathscr L_p(\R^s)$, $y\in\R^s$.

   \teilaufgabe
   $\phi\conv f \in C^\infty(\R^s)$.

   \teilaufgabe
   $\supp(\phi\conv f) \subset \supp(f) + \supp(\phi)$.

   % \teilaufgabe
   % $\phi_\eps\conv f(x) \to f(x),\ \eps \to 0$ f"ur fast alle $x\in\R^s$,
   % Dazu muesste man wissen, dass eine messbare Funktion fast ueberall stetig ist.
   %% 
   % \teilaufgabe
   % $\|\phi_\eps\conv f - f\|_p \to 0,\ \eps \to 0$,

   \teilaufgabe
   Si $f\in C_c(\R^s)$, entonces $\phi_\eps\conv f$ converge uniformemente a  $f$ si $\eps\to 0$, es decir,
   \begin{align*}
      \sup_{x\in\R^s} \{ | \phi_\eps\conv f (x) - f(x) | \} \to 0,
      \quad \eps \to 0.
   \end{align*}
\end{teilaufgaben}

% {\em Hinweis} zu (c): $A,\, B\subset \R^n$, $A$ abgeschlossen, $B\,$ kompakt $\Longrightarrow A+B$ abgeschlossen.

%%% }}}
\vspace*{2ex}

%%% 5. Aufgabe %%% {{{
\aufgabe {\bf Voluntario.}
\label{M14:5}
\begin{teilaufgaben}
   \teilaufgabe
   $f\in\mathscr L_1(\R^s)$, entonces $\phi_\eps\conv f\in C^\infty(\R^s)$.
   \teilaufgabe
   $f\in\mathscr L_1(\R^s)$ con soporte compacto, entonces $\phi_\eps\conv f\in C_c^\infty(\R^s)$.
   \teilaufgabe
   $f\in\mathscr L_p(\R^s)$ con $1\le p < \infty$, entonces $\phi_\eps\conv f\in \mathscr L_p(\R^s)$ y
   \begin{align*}
      \|\phi_\eps \conv f \|_p \le \| f \|_p,
      \qquad
      \lim_{\eps\searrow}\|\phi_\eps \conv f - f\|_p \to 0.
   \end{align*}

\end{teilaufgaben}


%%% }}}

\end{aufgaben}
\end{serie}

\end{document}

%%% TexDateInsert
%%% Sat 12 May 14:31:21 -05 2018
%%% measure-14.tex
