| 04/02/2025 | Introducciión a semigrupos | Edison Leguizamón |
| 11/02/2025 | Semigrupos uniformemente continuos | Mateo Bahos |
| 18/02/2025 | Cancelado (por el evento Analysis and Convex Geometry Week) Semigrupos de multiplicación | |
| 25/02/2025 | Semigrupos de multiplicación | Felipe Prieto |
| 04/03/2025 | Semigrupos fuertemente continuos | Diego Ramos |
| 11/03/2025 | Generadores de Semigrupos y sus Resolventes | Sebastián Rodríguez |
| 18/03/2025 | Semana de receso | |
| 25/03/2025 | CANCELADO | |
| 01/04/2025 | Teorema de generación de Hille-Yosida | Andrés Patiño |
| 08/04/2025 | Teorema de Generación para Grupos | Felipe Prieto |
| 15/04/2025 | Semana Santa | |
| 22/04/2025 | Perturbaciones Acotadas de Semigrupos | Edison Leguizamón |
| 29/04/2025 | Perturbaciones no Acotadas de Semigrupos | Mateo Bahos |
| 06/05/2025 | CANCELADO | |
| 13/05/2025 | Introducción a los semigrupos analíticos | Diego Ramos |
| 20/05/2025 | Estabilidad de Generadores de Semigrupos Analíticos Bajo Perturbaciones no Acotadas | Javier Moreno |
| 27/05/2025 | Multiparametrica y cosas ergodicas |
En esta primera sesión, haremos una introducción a la aparición de los semigrupos como solución a los problemas de evolución. Calentaremos con una revisión de los problemas funcionales de Cauchy y su posterior formulación para matrices. Finalmente, presentaremos la formulación de un semigrupo de operadores y abordaremos la solución al problema de evolución abstracto }
En esta sesión caracterizaremos los semigrupos uniformemente continuos de operadores en espacios de Banach, mostrando que su comportamiento es análogo al caso de dimensión finita. Además, introduciremos los semigrupos exponencialmente estables, los cuales permiten extender el teorema de estabilidad de Lyapunov al caso infinito dimensional. Finalmente, exploraremos los semigrupos de operadores en espacios de Hilbert y su relación con las derivaciones.
En esta sesión estudiaremos una clase importante de semigrupos: los semigrupos de multiplicación. Intuitivamente, estos se pueden considerar como la generalización de los semigrupos generados por matrices diagonales para espacios de dimensión infinita. Deseamos caracterizar estos semigrupos en dos espacios de funciones definidas sobre conjunto X, donde X es espacio localmente compacto:
En sesiones pasadas hemos conocido una familia importante de semigrupos en espacios de Banach: los semigrupos uniformemente continuos. Frente al interrogante de si hay semigrupos "naturales" (es decir que surjan en varios contextos) que no sean uniformemente continuos vimos una respuesta afirmativa: los semigrupos de multiplicación pueden ser no uniformemente continuos, sin embargo, pueden ser fuertemente continuos. Tomando esta última propiedad como base surge la motivación para estudiar una familia más amplia de semigrupos: los semigrupos fuertemente continuos. Abordaremos propiedades básicas y ejemplos de esta familia de semigrupos.
En sesiones pasadas vimos que todo semigrupo fuertemente continuo \((T(t))_{t\geq 0}\) en un espacio de Banach \(X\) es de la forma \(T(t) = e^{tA}\), donde \(A\) es un operador acotado.
En esta sesión introduciremos la noción de generador de un semigrupo fuertemente continuo, el cual, en general, no será un operador acotado.
Veremos que el generador determina completamente al semigrupo y analizaremos la relación entre el semigrupo y las resolventes de su generador.
Si el tiempo lo permite, exploraremos algunas generalizaciones de estos conceptos en el contexto de espacios localmente convexos ([1], [2]).
Bibliografía:
[1] R. A. H. M. Cabral, Projective analytic vectors and infinitesimal generators, Math. Nachr. 296 (2023), 534-551. https://doi.org/10.1002/mana.202000264
[2] Rusinek, J., Analytic Vectors and Generation of One-Parameter Groups, Studia Mathematica LXXIX (1984), 77-82.
Si un operador lineal A genera un semigrupo fuertemente continuo, entonces A debe ser cerrado, estar densamente definido y su espectro debe estar contenido en un semiplano izquierdo del plano complejo.
Sin embargo, estas propiedades por sí solas no garantizan que A sea generador de algún semigrupo.
En esta sesión exploraremos el Teorema de Hille-Yosida, que proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que un operador genere un semigrupo fuertemente continuo, expresadas mediante estimaciones de las potencias de su resolvente.
Además, analizaremos la conexión entre este teorema y el concepto de vectores analíticos [1].
Bibliografía:
[1] Rusinek, J., Analytic Vectors and Generation of One-Parameter Groups, Studia Mathematica LXXIX (1984), 77-82.
En esta sesión demostraremos el Teorema de Generación para grupos.
Encontramos condiciones equivalentes para que un operador (A, D(A)) sea el generador de un grupo de operadores fuertemente continuo.
Este teorema se relaciona de manera directa con el Teorema de Generación de Hille-Yosida.
Adicionalmente, consideraremos otro teorema relacionado.
Para un operador (A, D(A)), sea B el conjunto de sus vectores analíticos.
Estudiaremos las condiciones sobre B que garantizan que la clausura de A sea el generador de un grupo de operadores fuertemente continuo [1].
Bibliografía:
[1] Rusinek, J., Analytic Vectors and Generation of One-Parameter Groups, Studia Mathematica LXXIX (1984), 77-82.
Dado un generador de semigrupo A, y un operador B surge una pregunta natural ¿bajo qué condiciones es A+B generador de algún semigrupo? Durante la charla probaremos que una condición suficiente es que B sea acotado, lo cual nos permitirá generalizar la formula de variación de parámetros y finalmente nos adentraremos en los operadores integrales más conocidos como tipo Volterra y su relación con la generación de semigrupos.
Sea A el generador de un \(C_0\) semigrupo, en la sesión pasada se mostró que si B es un operador acotado entonces A+B es generador de un \(C_0\) semigrupo. Hoy veremos el caso donde B no es acotado. En esta situación se debe tener cuidado puesto que A+B puede no ser densamente definido, podremos pedir entonces una primera condición la cual es que B sea A-acotado, pero veremos con un ejemplo que esto tampoco es suficiente. Nos centraremos en casos puntuales donde A es el generador de un grupo de contracción y B es disipativo y brindaremos condiciones suficientes de modo que A+B sea el generador de un \(C_0\) semigrupo.
Entre los semigrupos uniformemente continuos y los semigrupos fuertemente continuos existe todavía una familia muy importante de semigrupos, los llamados semigrupos analíticos. Esta familia de semigrupos se introduce de tal modo que el generador, siendo un operador no acotado, dé lugar al semigrupo a través de la fórmula exponencial como se vio para semigrupos uniformemente continuos. En primer lugar, impondremos las condiciones sobre un operador no acotado y sobre un camino de tal modo que la fórmula integral de la exponencial converja preservando las propiedades del cálculo funcional. Seguido esto introduciremos la definición de semigrupos analíticos y algunas caracterizaciones mostrando buenas propiedades de estos semigrupos.
En esta última sesión presentaré un resultado clásico de estabilidad para generadores de semigrupos analíticos bajo perturbaciones relativamente acotadas con cota relativa suficientemente pequeña. Luego, aplicaré este resultado a operadores de Schrödinger con condiciones cuasi-periódicas. Por último, presentaré un resultado reciente de estabilidad para generadores normales de semigrupos analíticos donde usando la condición de normalidad se obtienen resultados más fuertes.