| 21/08/2024 | CANCELADO | |
| 26/08/2024 | TBA | Alejandro Pineda |
| 02/09/2024 | TBA | Esteban Quintero |
| 09/09/2024 | Estabilidad de invertibilidad y la serie de Neumann | Camilo Moreno |
| 16/09/2024 | El resolvente de un operador lineal | Felipe Prieto |
| 23/09/2024 | Descomposición espectral de operadores lineales en dimensión finita | Alejandro Pineda |
| 30/09/2024 | Semana de receso | |
| 07/10/2024 | Operadores y formas sesquilineales en espacios unitarios | Esteban Quintero |
| 21/10/2024 | Perturbaciones analíticas | Juan András Afanador Perico |
| 23/10/2024 | Vectores propios bajo perturbaciones analíticas | Camilo Moreno |
| 28/10/2024 | Promedio ponderado de los valores propios de un Lambda-grupo | Alejandro Pineda: |
| 06/11/2024 | El teorema de Motzkin Taussky | Felipe Prieto |
| 13/11/2024 | TBA | Esteban Quintero |
| 18/11/2024 | TBA | |
| 25/11/2024 | TBA |
Se define la serie de Neumann para operadores lineales y algunas condiciones para su convergencia. Lo anterior permitirá determinar situaciones de invertibilidad de operadores y caracterizar la inversión como aplicación continua. Junto con este resultado, se abordan algunas consecuencias con relevancia futura en perturbaciones de operadores.
Continuamos con la lectura del libro "Perturbation Theory for Linear Operators" de Kato. En esta sesión se definirá la resolvente de un operador lineal \(T,\) donde \(T\) es definido en un espacio normado \(X\) de dimensión finita. Se demostrarán algunas propiedades de la resolvente, principalmente que esta es una función meromorfa cuyos polos son los valores propios de \(T\).
En esta sesión, se abordarán dos objetivos principales:
En esta sesión empezaremos a hablar de espacios unitarios (de producto interno) y de ello daremos otra introducción al operador adjunto. Además, hablaremos sobre formas sesquilineales y sus operadores asociados, que son motivación para definir los operadores normales y autoadjuntos. Deduciremos de estos objetos algunos resultados, de los cuales surgen nuevos resultados sobre familias de proyecciones (ortogonales u oblicuas). Por último, daremos un vistazo al problema de los valores propios en el contexto de espacios unitarios.
En la charla de hoy iniciaremos el estudio de la teoría de perturbaciones en espacios de dimensión finita. La idea es investigar cómo varía el problema de valores propios de una cierta transformación \(T\) cuando esta se somete a un cambio relativamente pequeño, por ejemplo, cuando queremos investigar el problema de valores propios para \(T+xT'\), donde \(x\) se supone pequeño. En general estudiaremos perturbaciones de la forma \(T(x)=T+xT_1+x^2T_2+ \dots\), donde \(T(x)\) es holomorfa en \(x\). Veremos cómo se comportan los valores propios, el resolvente y las proyecciones propias con respecto a \(T\).
En esta sesión, se discuten propiedades analíticas de los valores propios de un operador sometido a una perturbación que depende de manera holomorfa de un parámetro. En particular, se introducen algunos resultados acerca la naturaleza de las singularidades de los valores y proyecciones propias. De igual manera, se provee una caracterización más detallada del lambda-grupo asociado a un valor propio en términos de las proyecciones propias, así como un acercamiento a expresiones explícitas para los coeficientes de la expansión de Taylor de la proyección total del lambda-grupo.
En esta sesión mostraremos algunos ejemplos de cálculo de perturbaciones con operadores en dimensión finita junto con la resolvente y proyecciones asociadas a dichas perturbaciones. Por otro lado, daremos una introducción al estudio del promedio ponderado de los valores propios del Lambda-grupo. En particular, queremos mostrar que dado un valor propio del operador no-perturbado, podemos calcular el promedio ponderado de los valores propios de dicho Lambda-grupo asociado mediante una serie cuyos coeficientes depende de la resolvente de dicho operador.
En esta sesión estudiamos la división ("splitting") de lambda, un valor propio semisimple, después de una perturbación analítica. Mostramos como es posible obtener una aproximación a primer orden del lambda-grupo a través de un proceso de reducción. Adicionalmente, demostramos algunos teoremas debido a Motzkin y Taussky sobre una perturbación lineal diaginalizable.