En esta primera sesión se cubrirán los aspectos básicos de la teoría de operadores lineales auto-adjuntos, simétricos y cerrados, así como sus relaciones. También expondremos algunas de las propiedades del espectro de estos operadores y el teorema de constancia de índice de defecto en las componentes conexas del complemento del rango numérico.
En esta sesión presentaremos el dominio de regularidad de un operador y el índice de defecto, además probaremos el teorema de constancia del índice de defecto en componentes conexas. También se presentará la transformada de Cayley y su relación con las propiedades del operador.
Es esta sesión se dará una construcción explícita de una extensión auto-adjunta de un operador simétrico utilizando los índices dde defecto. Se probarán la primera y segunda fórmulas de von Neumann, así como la equivalencia entre operadores simétricos maximales y operadores simétricos cerrados.
En esta sesión presentaremos algunos resultados que se tienen sobre del espectro de extensiones auto-adjuntas para un operador simétrico cerrado (con índices de defecto iguales). Introduciremos los conceptos de núcleo espectral y núcleo espectral esencial de un operador simétrico cerrado y veremos la relación con su espectro cuando el operador es además auto-adjunto.
En esta sesión se pretende aplicar las herramientas desarrolladas en las sesiones anteriores para encontrar extensiones autoadjuntas de un operador diferencial ordinario de segundo orden. Más precisamente, se empezará por estudiar un operador más general que el operador de Sturm-Liouville regular, se verificará que éste define un operador simétrico cerrado y que, cuando es un operador de Sturm-Liouville, éste posee índices de defecto iguales (i.e., posee extensiones autoadjuntas). Se analizan entonces diferentes propiedades de este operador y de su clausura (índices de defecto, dominio y rango), y con los resultados obtenidos se cierra la sesión dando una forma a las extensiones autoadjuntas de una forma diferencial de Sturm-Louville regular.
La charla continuará el estudio de operadores de Sturm-Liouville simétricos. En ella abarcaremos la alternativa de Weyl para exhibir la relación entre los indices de deficiencia y la sumabilidad de sus soluciones. Además, veremos criterios para la auto-adjunticidad de estos operadores a partir del comportamiento de su potencial asociado.
El teorema espectral establece que todo operador autoadjunto (no necesariamente acotado) se puede ver como la integral con respecto a una familia espectral, más precisamente \(A = \int_{\mathbb R} y\, dE(y) \).
El objetivo de esta sesión es dar una prueba ([1]) de este hecho que sólo involucra propiedades geométricas intrínsecas de los espacios de Hilbert.
Bibliografía:
[1] H. Leindenfeler. A Geometric Proof of the Spectral Theorem for Unbounded Selfadjoint Operators. Math. Ann., 242(1):85-96. 1979.
En esta sesión se dará una breve introducción al concepto de relaciones lineales dando a conocer algunas propiedades. También se mostrará una equivalencia entre los operadores autoadjuntos y relaciones autoadjuntas y se dará a conocer la transformación de Cayley de una relación autoadjunta.
En esta sesión se estudiarán las tripletas de frontera para el adjunto de un operador simétrico T. Dichos objetos proveen una parametrización de las extensiones autoadjuntas de T como relaciones lineales autoadjuntas sobre un espacio de Hilbert apropiado. El objetivo de la charla es introducir las tripletas de frontera, estudiar su relación con la teoría de extensiones de von Neumann y mostrar ejemplos con operadores diferenciales.
En esta charla partiremos de una tripleta de frontera para un operardor para definir dos familias holomorfas de operadores: el campo gama y la función de Weyl para una extensión auto-adjunta asociada a una tripleta de frontera. Estas son herramientas importantes para el estudio de las extensiones auto-adjuntas de un operador. Una vez definidas dichas familias procederemos a exponer una serie de resultados técnicos sobre dichas familias.
El propósito de esta sesión es deducir dos formulaciones de la fórmula de resolvente de Krein-Naimark, la cual expresa la resta entre los resolventes de dos extensiones autoadjuntas de un operador simétrico dado. A partir de las herramientas desarrolladas en la sesión pasada, comenzaremos por dar una formulación dependiente de una tripleta de frontera dada. Posteriormente, con base en la tripleta de frontera asociada al Primer Ejemplo Estándar (la tripleta de frontera que se define a partir de una extensión autoadjunta), se deducirá una formulación de la fórmula de Krein-Naimark independiente de cualquier tripleta de frontera.
En esta sesión presentaremos la extensión de Friedrichs de un operador simétrico semiacotado, la cual tiene la propiedad de ser la extensión autoadjunta semiacotada más grande. Veremos algunas de las propiedades del operador T_0, la extensión autoadjunta asociada a una tripleta de frontera, cuando este es la extensión de Friedrichs y daremos una caracterización de cuando el operador T_0 es la extensión de Friedrichs.