Charlas sobre temas posibles del proyecto de grado
Hora y Salón: Jueves, 17:00-18:00, Salón O-203.La idea de esta charla es dar una breve introducción a la Teoría Descriptiva de Conjuntos, entendiéndola como la teoría de los conjuntos definibles en \(\mathbb R\). Pero, ¿qué es un conjunto definible? Aunque existen dos formas equivalentes de definir el concepto de definible, esta charla se concentrará en la noción clásica la cual se refiere a los subconjuntos de \(\mathbb R\) que se obtienen a partir de abiertos y la operación de complemento, uniones numerables y proyecciones. De esta manera, definiremos el concepto de conjuntos Borelianos entendidos como la menor colecci&oactue;n de de subconjuntos de R que contienen a los abiertos y cerra- dos bajo complementación y uniones numerables (\(\sigma\)−álgebra de Borel sobre \(\mathbb R\)).
De esta forma, esta charla dará como motivación al estudio de la teoría descriptiva de conjuntos un enfoque dirigido a la hipótesis del continuo, intentando responder a la pregunta ¿satisfacen los Borelianos la Hipótesis del Continuo? Para ello, definiremos m&aactue;s conceptos como el de conjunto Polaco y Perfecto, asimismo presentaremos resultados tales como el teorema de Cantor-Bendixon, Categorías de Baire, Alexandrov y Alexandrov-Urysohn que nos ayudaran a aproximarnos a una respuesta a la pregunta anteriormente planteada. Finalmente, con ayuda de los conceptos obtenidos daremos una breve idea de la demostración de que, asumiendo el axioma de elección y la hipótesis del continuo, todo Boreliano es equipotente a \(\mathbb N\) ó a \(\mathbb R\).
El objetivo de la charla es dar a conocer cómo se han incluido de manera relevante la teoría de conjuntos y la teoría de los espacios de Banach para resolver problemas en ambos campos. Se hará un breve recuento de las definiciones sobre espacios de Banach y se expondrá un ejemplo particular de esta simbiosis en el cual se usa la universalidad del espacio \(\ell_\infty/c_0\) para resolver un problema clásico de teoría de conjuntos y es que cualquier subconjunto de \(\mathbb{R}^2\) pertenece a la \(\sigma\)-álgebra de subconjuntos de \(\mathbb{R}^2\) generada por rectángulos. Esto es, conjuntos de la forma \(A_1\times A_2\) tal que \(A_1,A_2 \subseteq \mathbb{R}\).
El objetivo del proyecto con Alexander Getmanenko es entender el paper con el mismo nombre que el título escrito por S. Karlin y J. L. McGregor.
En este paper se evidencia la fuerte relación entre las dos teorías mencionadas y se dan a conocer resultados obtenidos al evaluar una de las teorías a través de los ojos de la otra.
Durante la charla, se empezará hablando sobre los conceptos básicos de los procesos de nacimiento y muerte así como también de la teoría de los problemas de momentos.
Por ultimo, se evidenciará el punto en el que ambas teorías se encuentran y una breve descripción de uno de los resultados principales al que se llega en el artículo: El conjunto de problemas de Stieltjes solucionables genera el conjunto de matrices asociadas a procesos de nacimiento y muerte y viceversa.
Palabras claves:
Polinomios ortogonales, momentos, medida, procesos de Markoff, matrices infinitas.
El objetivo de esta charla es mostrar cómo es posible lograr aproximaciones asintóticas para expresiones como los polinomios de Bell. Primeramente, se introducirán los conceptos de números de Stirling de segundo orden y se explicará el uso en la combinatoria matemática de los polinomios de Bell. Posteriormente, se explicará brevemente en que consiste una expansión asintótica y se darán ejemplos pertinentes, para poder así comentar sobre el procedimiento con el cual se pudo obtener la expansión deseada. Para terminar, se discutirá si el método aplicado podría usarse en otros problemas para encontrar otras expansiones similares.
En esta charla se darán algunos conceptos básicos de análisis funcional y de teoría de operadores, necesarios para la demostración de un principio min-max para hallar los autovalores en gaps espectrales de operadores autoadjuntos posiblemente no semiacotados.
Este principio puede ser aplicado a operadores de Dirac con supersimetría, los cuales, en particular, incluyen operadores de Dirac con campos magnéticos o campos eléctricos acotados.
La organización de la charla será la siguiente: se comenzará definiendo conceptos báisicos de teoría de operadores, como operadores semiacotados y proyecciones en espacios de Hilbert.
Posteriormente se establecerá principio Min-Max usual, que solo es válido para operadores autoadjuntos semiacotados.
Luego se definirán los gaps espectrales y, finalmente, se discutirá la nueva versión del principio Min-Max mencionada anteriormente y se verá su aplicación a operadores de Dirac.
Todos los resultados que se mostrarán durante la charla están basados en el paper "A min-max principle for the eigenvalues in spectral gaps" por los autores Marcel Griesemer y Heinz Siedentop.
El objetivo de esta charla es presentar un principio variacional para los autovalores de operadores autoadjuntos y mostrar como este puede ser aplicado a operadores matriciales por bloques. Para esto se darán conceptos básicos de teoría de operadores, seguidos del principio variacional que usaremos. En esta instancia se darán algunos ejemplos básicos. Finalmente se presentarán los operadores matriciales por bloques y cómo el principio variacional puede ser aplicado a estos mediante la factorización de Schur.
En 1961 I. M. Gelfand propuso unos problemas que formaron la base de un artículo escrito por I. N. Bernstein. En este artículo surge un motivación para la teoría de los \(D\)-Módulos; los polinomios de Bernstein-Sato surgen como una primera aplicación de la teoría y conforman la solución a una de las preguntas postuladas por I. M. Gelfand. En la charla veremos cual fue esta pregunta, cómo estos polinomios son una solución y daremos una aproximación elemental, y netamente algebraica, a la teoría de los \(D\)-Módulos.
Esta charla tiene como objetivo dar una introducción corta a la Teoría de Ehrhart sobre politopos convexos y puntos enteros. Para esto, se darán definiciones básicas provenientes tanto de la geometría discreta como de la combinatoria. Se mostrarán varios ejemplos de politopos básicos, sus versiones en bajas dimensiones y algunos cálculos posibles gracias a la teoría. De la misma forma, se presentarán algunos resultados como la existencia de triangulaciones, el Teorema de Pick y la Reciprocidad de Ehrhart-Macdonald. Al final, se mencionarán algunos problemas abiertos y ciertas conexiones entre el mundo discreto y el mundo continuo usando esta teoría.
En 1948, pocos años después de la Segunda Guerra Mundial, el matemático e ingeniero Claude Shannon publicó "A Mathematical Theory of Communication%" como resultado de la necesidad de codificar la información que se transmitía vía radio.
Desde ese momento se han hecho grandes avances en la transmisión, encriptación y codificación de la información.
El objetivo de esta charla es hacer una breve introducción a la Teoría de Códigos mostrando algunos conceptos básicos como el primer teorema de Shannon, los códigos lineales y los códigos Hamming, entre otros, junto con algunas preguntas abiertas sobre la codificación eficiente que motivan el estudio de esta teoría.
Se estudiará cómo solucionar sistemas de ecuaciones polinomiales en los complejos a través del uso de politopos de Newton y volumen mixto. Se expondrán los teoremas de Bézout y Bernstein que relacionan el número de soluciones del sistema con un volumen mixto.
El objetivo de esta charla consiste en estudiar el análisis de algoritmos en el caso general además de mostrar la importancia de las funciones generadoras para este análisis y para la combinatoria enumerativa (tema recurrente en el análisis de algoritmos). Para esto se empazará mostrando el análisis del método de ordenamiento rápido (Quicksort) seguido con una muestra de métodos generales en análisis combinatorio, complejo y asintótico. Luego se mostraran los tipos de aplicaciones de estos métodos en funciones algebraicas, implícitas, holonómicas y diferenciales. Esto para finalmente mostrar algo de esquemas combinatorios y análisis automático.
Los grafos expansores son grafos que son a su vez dispersos y altamente conectados. El objetivo de la charla es definir grafo expansor de tres formas diferentes. Se expondrán algunas de las propiedades de los grafos que son a su vez expansores y k-regulares (como las desigualdades de Cheeger) y finalmente, se comentarán problemas abiertos y aplicaciones.