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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center} \textsc{Universidad de los Andes \hfill
Departamento de Matemáticas}\newline {\bf MATE-2410
--- Geometría Diferencial 1 \\
Taller 3}
\end{center}


\section{Taller \# 3}

El objetivo de este taller es usar el hecho fundamental de
los resultados del teorema de la representaciones II de
Weierstrass-Enneper, que finalmente se puede interpretar
que \emph{toda función holomorfa $F(\tau)$ define una
superficie mínima} (\textbf{sorprendente!})

\begin{enumerate}
\item
Demuestre las fórmulas (4.4) a (4.7) de las hojas
\emph{Resumen de Teoremas y Fórmulas importantes}.
\item
Sea $F(\tau)=\frac{1}{2\tau^2}$ donde $\tau=e^z$. Muestre
que la representación asociada a $F(\tau)$ es un
\emph{catenoide}.
\item
Sea $F(\tau)=\frac{i}{2\tau^2}$ donde $\tau=e^z$. Muestre
que la representación asociada a $F(\tau)$ es un
\emph{helicoide}.
\item
Sea $(f,g)=\left(-\frac{e^{-z}}{2},-e^z\right)$. Muestre
que la representación asociada a $(f,g)$ es un
\emph{catenoide}.
\item
Sea $(f,g)=\left(-i\frac{e^{-z}}{2},-e^z\right)$. Muestre
que la representación asociada a $(f,g)$ es un
\emph{helicoide}.
\end{enumerate}

\section*{Ejercicios}

Estos ejercicios se tratar'an en el laboratorio
\emph{Superficies Mínimas y Maple}.
\begin{enumerate}
\item
Sea $(f,g)=\left(-\frac{i}{2},\frac{1}{z}\right)$. Muestre
que la representación asociada a $(f,g)$ es un
\emph{helicoide}.
\item
Sea $F(\tau)=i\left(\frac{1}{\tau}-\frac{1}{\tau^3}\right)$
donde $\tau=e^{-iz/2}$. Muestre que la representación
asociada a $F(\tau)$ es una \emph{superficie de Catalan}.
\item
Sea $F(\tau)=1-\frac{1}{\tau^4}$ donde $\tau=e^z$. Muestre
que la representación asociada a $F(\tau)$ es una
\emph{superficie de Henneberg\footnote{La superficie de
Henneberg es importante por que es un ejemplo de una
superficie mínima no orientable.}}.
\item
Sea $F(\tau)=1$, lo cual es equivalente a tomar
$(f,g)=(1,z)$. Muestre que la representación asociada a
$(f,g)$ es una \emph{superficie de Enneper}.
\item
Sea $F(\tau)=\frac{2}{1-\tau^4}$. Muestre que la
representación asociada a $F(\tau)$ es una \emph{superficie
de Sherk}.
\item
Sea $(f,g)=\left(z^2,\frac{1}{z^2}\right)$. La
representación asociada a $(f,g)$ se le llama una
\emph{superficie de Richmond}.


\end{enumerate}

\end{document}
