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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center} \textsc{Universidad de los Andes \hfill
Departamento de Matemáticas}\newline {\bf MATE-2410
--- Geometría Diferencial 1 \\
Taller 2}
\end{center}

\section*{Superficies con H constante y Variable  Compleja}

\subsection*{Funciones armónicas y Funciones holomorfas}
\textbf{Definición 1.} Sea $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ una
función compleja de variable compleja, la \emph{derivada compleja}
se define como,
\[
f'(z_0)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_0+\Delta z) -f(z_0)}{\Delta
z}
\]

\textbf{Definición 2.} Sea $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ una
función compleja de variable compleja \newline $z=(x+iy)\mapsto
f(z)=u +i v$. Las \emph{ecuaciones de Cauchy-Riemann} (ECR) son:
\begin{equation}\label{ECR}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\qquad
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}
\end{equation}

\textbf{Teorema 1.} Si $u$ y $v$ son de clase $C^1(D)$ (con primeras
derivadas continuas en algún dominio $D\ni z_0$), entonces las
Ecuaciones de Cauchy Riemann (ECR) son condición necesaria y
suficiente para que $f'(z_0)$ exista.

\textbf{Definición 3.} Una función  $f:\mathbb{C} \rightarrow
\mathbb{C}$  compleja de variable compleja se llama \emph{analítica
u holomorfa} en $z_0$ no solo si existe $f'(z_0)$ sino además existe
la derivada en todo punto de alguna vecindad de $z_0$. Una función
$f$ es analítica en un dominio $D$ si es analítica en todo punto de
ese dominio, y escribimos $f \in C^{\omega}(D)$

\textbf{Definición 4.} Una función  $f:\mathbb{C} \rightarrow
\mathbb{C}$ compleja de variable compleja se llama \emph{entera} si
es analítica en todo el plano complejo.

\textbf{Definición 5.} Una función $u: D\subseteq \mathbb{R}^2
\longrightarrow \mathbb{R}\quad (x,y)\mapsto u=u(x,y)$ se llama
\emph{armónica} si satisface la ecuación de Laplace, es decir
$\Delta u =u_{xx}+u_{yy}=0$

\textbf{Teorema 2.} Si $f=u+iv$ es una función analítica en $D$,
$f\in C^{\omega}(D)$, $D$ un dominio simplemente conexo, entonces
$u$ y $v$ son funciones armónicas en $D$.

\textbf{Teorema 3.} Si $u$ es armónica en $D$, existe $v$ (conjugada
armónica), tal que $f(z)=u+iv$ es holomorfa.


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\subsubsection*{Ejercicios 1}
\begin{enumerate}
\item Probar que $f(z)= f(x+iy)=x^2+iy^2$ no es analítica.
\item Sea $f(z)=z^n$,
\begin{enumerate}
\item Para $n=2$ hallar $u$ y $v$.
\item Pruebe que $u$ y $v$ son armónicas.
\item Pruebe que $f(z)=z^2$ es entera.
\item Para $n=3$ hallar $u$ y $v$.
\item Pruebe que $u$ y $v$ son armónicas.
\item Pruebe que $f(z)=z^3$ es entera.
\end{enumerate}
\item Considere la superficie $u(x,y)=x^2-y^2$ y la parametrización
 de Monge $X(u,v)=(u,v,u^2-v^2)$, pruebe que la curvatura media
 \begin{equation}
 H=\frac{4(v^2-u^2)}{(1+4u^2+4v^2)^{3/2}}
 \end{equation}
\textbf{Observación.} \emph{Claramente $H\ne 0$. En general las
superficies mínimas no son gráficos de funciones armónicas.}
\end{enumerate}

%-------------------------------------------
\subsection*{Funciones armónicas y Superficies mínimas (Parte 1)}

\textbf{Definición 6.} Sea $M$ una superficie regular y $X(u,v)$ una
parametrización, decimos que $X$ es \emph{isotermal} si los
coeficientes de la primera forma fundamental (I) satisfacen que:
$E=G$ y $F=0$

\textbf{Teorema 4.} Si $X$ es isotermal, entonces $\Delta X =
X_{uu}+X_{vv}=2EHU$

\textbf{Teorema 5.} Sea $M$ una superficie regular con coordenadas
isotermales $X(u,v)=(x^1(u,v),x^2(u,v),x^3(u,v))$, $M$ es una
superficie mínima si y solo si $x^i$ son armónicas.

%-------------------------------------------
\subsection*{Ejercicios 2}
\begin{enumerate}
\item Demostrar el Teorema 4. (\textbf{Ayuda:} \emph{Use las Fórmulas Fundamentales
de la Aceleración (pág. 136) y la definición de $H$}).
\item Demostrar el Teorema 5.
\item Porqué $f(x,y)=x^2-y^2$, usando la parametrización de Monge, no es
mínima siendo $x^i$ armónicas?. No contradice este hecho el Teorema
4?. Explique.
\end{enumerate}

%-------------------------------------------
\subsection*{Funciones armónicas y Superficies mínimas (Parte 2)}

\textbf{Definición 6.} Sea $ z = x + i y $ un punto en $D\subseteq
\mathbb{C}\equiv \mathbb{R}^2$, cambiaremos $x=u$ y $y=v$ para
expresar $z = u+iv$. Sea $X$ es una parametrización de una
superficie regular $M$ en $D$, puesto que
$u=\frac{z+\overline{z}}{2}$ y $v=\frac{z-\overline{z}}{2i}$,
definimos $\phi = \frac{\partial X}{\partial z}=\left(x^1_z, x^2_z
x^3_z\right)$ donde , $X(u,v)=(x^1(u,v),x^2(u,v),x^3(u,v))$.

\textbf{Teorema 6.} Si $X$ es una parametrización isotermal de una
superficie regular $M$ $f(z)$, entonces $\phi^2 =0$

\textbf{Teorema 7.} Sea $M$ una superficie regular parametrizada en
coordenadas isotermales ($\phi^2=0$)\footnote{$\phi^2=\phi \cdot
\phi$}, entonces $M$ es mínima si y solo si las componentes $\phi
^i$ son funciones holomorfas.

\textbf{Teorema 8 (Osserman).} Coordenadas isotermales existen para
cualquier superficie mínima $M \subseteq \mathbb{R}^3$

\subsection*{Ejercicios 3}

\begin{enumerate}
\item Probar que $u=\frac{z+\overline{z}}{2}$
\item Probar que $v=\frac{z-\overline{z}}{2i}$
\item  Probar que
$\phi^2=\frac{1}{4}(E-G-2iF)$
\item Demostrar el Teorema 6.
\end{enumerate}


\end{document}
