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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center} \textsc{Universidad de los Andes \hfill
Departamento de Matemáticas}\newline {\bf MATE-2410
--- Geometría Diferencial 1 \\
Taller 1}
\end{center}

\section*{Superficies con Curvatura Media Constante}


\textbf{Teorema 1} Sean $M$ una superficie suave orientable  e
inmersa\footnote{Para todo punto $P\in M$ la aplicación $df: T_PM
\to T_{f(P)}\mathbb{R}^3$ es inyectiva, donde $f:M \to \mathbb{R}^3$
es una aplicación suave.} en $\mathbb{R}^3$ y $M^t$ una 'leve'
perturbación de $M$\footnote{Los términos en $t$ de grado $\geq 2$
se despreciarán.}.

Si $M$ está parametrizada mediante $X(u,v)$, entonces
\[
Y(u,v)=X(u,v)+tV(u,v)
\]
es una parametrización de $M^t$, donde $V$ es algún campo vectorial
en $\mathbb{R}^3$. Si $M$ es compacta (cerrada y acotada) entonces:
\begin{equation}\label{1}
A'(0)=-\int\int_M 2H U\cdot V dA
\end{equation}

donde $A$ es el área de $M$, $A(t)$ es el área de $M^t$ y $A'(0)$ es
la derivada de $A(t)$ respecto a $t$ en $t=0$. $H$ la
\emph{curvatura media}\footnote{$S(X_u)\times X_v - S(X_v)\times X_u
= 2 H X_u \times X_v$, donde $S$ es el operador forma
$S(X_u)=-\nabla_{X_u}U=U_u$} de $M$ y $U$ el vector normal unitario
de $M$.

\textbf{Prueba} La prueba la haremos en tres pasos.
\begin{enumerate}
\item
$Y_u=$

$Y_v=$

$Y_u \times Y_v =$

$|Y_u \times Y_v|=$

entonces

$A(t) \approx \int\int_{M^t}\sqrt{|X_u \times X_v|^2 +2t(X_u \times
X_v)(X_u \times V_v + V_u \times X_v)} dudv$

Ahora calcule

$A'(t)=\int\int_{M^t}\noindent{\vrule width 12cm height 0.4pt} dudv$

y evalúe en $t=0$.

$A'(t)=\int\int_{M^t}V \cdot U \times Xu du dudv$

Pruebe que se llega a

\begin{equation}\label{2}
A'(0)=\int\int_{M^t}U\cdot (X_u \times V_v + V_u \times X_v) dudv
\end{equation}


\item

Escriba el Teorema de Green\footnote{$\oint_C - Q dx + P dy =
\int\int_D \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial
y}dxdy$} para $P = -V \cdot U \times X_v$ y $Q = V \cdot U \times
X_u$

$\frac{\partial P}{\partial u}=$

$\frac{\partial Q}{\partial v}=$

$\frac{\partial P}{\partial u} + \frac{\partial Q}{\partial v} =$

Pruebe que se obtiene

\begin{equation}\label{3}
\frac{\partial P}{\partial u} + \frac{\partial Q}{\partial v} %
=V_v \cdot U \times X_u%
-V_u \cdot U \times X_v%
+V \cdot U_v \times X_u%
-V \cdot U_u \times X_v%
\end{equation}

Ahora use la nota de pié de página para mostrar que

$U_u\times V_v + X_u \times U_v = 2H X_u \times X_v$

Reemplazando este resultado en (\ref{2}) y en el teorema de Green se
obtiene:

\begin{eqnarray}\label{4}
&\int\int_D V_v \cdot U \times X_u - V_u \cdot U \times X_v dudv
+\int\int_D V \cdot (2H X_u \times X_v) dudv \\%
&=\oint_C V \cdot U \times X_u du + V \cdot U \times X_v dv
\end{eqnarray}

\item
La expresión (\ref{4}) obtenida anteriormente son cálculos para dos
campos escalares $P$ y $Q$ definidos 'apriori'. Ahora relacionaremos
este resultado con las condiciones del teorema.

\begin{enumerate}
\item En el teorema de Green la región $D$ es una región $\noindent{\vrule width 5cm height 0.4pt}$ y la curva $C$ es su
$\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}$
\item Si tomamos una 'triangulación' de una 'carta' de la parametrización
escogida (patch) ($X : D \subseteq R^2 \to \mathbb{R}^3$, entonces
la existencia de $U$ está garantizada por (Escriba cuál de las
hipótesis del Teorema)$\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}$ ya
que $X_u \times X_v \noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}$
\item
La aplicación $X$ es un $\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}$
por (Escriba cuál de las hipótesis del Teorema)$\noindent{\vrule
width 6cm height 0.4pt}$
\item
Por lo tanto las integrales de línea sobre las curvas interiores en
la triangulación de $X$ se anulan por (Escriba cuál de las hipótesis
del Teorema)$\noindent{\vrule width 3cm height 0.4pt}$
\item
Como $M$ es cerrada por (Escriba cuál de las hipótesis del
Teorema)$\noindent{\vrule width 2cm height 0.4pt}$ entonces cuando
integramos sobre toda la colección de cartas que cubren a $M$ todas
las integrales de línea se cancelan, porque $M$ es (Escriba cuál de
las hipótesis del Teorema)$\noindent{\vrule width 5cm height
0.4pt}$. Para este razonamiento piense sobre una colección de cartas
con cierta triangulación  sobre una banda de un cilindro y observe
que le sucede a la suma de integrales de línea.
\item
Entonces el teorema queda demostrado porque (Escriba cómo conecta
los resultados anteriores.)$\noindent{\vrule width 6cm height
0.4pt}$
\end{enumerate}


\end{enumerate}

El siguiente es el ejercicio 4.4.2 planteado en el libro guía (pág.
188)

\textbf{Teorema 2} Sean $M$ una superficie suave orientable  e
inmersa en $\mathbb{R}^3$ y $M^t$ una 'leve' perturbación de $M$.

Si $M$ es limitada por una curva $C$, entonces

\begin{equation}\label{5}
A'(0)=-\int\int_M 2H U\cdot V dA - \oint_C V \cdot (U \times T)
\end{equation}

\textbf{Prueba.}
\begin{enumerate}
\item
La parametrización de $M$ es $X=X(u,v)$, de modo que una base del
plano tangente $T_{P} (M)$ es $\{X_u, X_v\}$. Si la curva $C$, en el
borde de $M$, está parametrizada por $\alpha (s) = (u(s), v(s))$ por
la regla de la cadena $T=\frac{\partial X}{\partial s}=X_u u' + X_v
v'$ es un vector tangente a $M$ en $P$.

Por lo tanto

$U\times T =$$\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}$

expandiendo

$U\times T =$$\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}$

y obtenemos

\begin{equation}\label{6}
V\cdot U \times T ds =
\end{equation}

\item
Reemplazando la expresión (\ref{6}) en el teorema de Green (\ref{4})
aplicado para los campos $P$ y $Q$ definidos en la demostración
anterior obtenemos:

(Escriba el resultado)

\vspace{2cm}

Ahora reemplazando (\ref{2}) en este resultado tenemos


(Escriba el resultado)

\vspace{1cm}

\end{enumerate}

\section*{Consecuencias}

\textbf{Teorema 3.} Una pompa de jabón siempre debe tener la forma
de una superficie con curvatura media constante.

Observaciones. Si $V$ es paralelo a $U$ debido a las presiones, en
caso particular si $U=V$ por el teorema 1, tenemos que $A'(0)=2A$,
puesto que $U\cdot V =1$ y $H$ es constante. Este análisis es
similar si pensamos que $V(u,v)=X(u,v)$, lo cual tendríamos que
$Y^t=(1+t)X$ y por tanto $A(t)=(1+t)^2A$ y $A'(0)=2A$.

\textbf{Teorema 4. (Teorema de Ros)} Sea $M$ una superficie compacta
embebida\footnote{Embebida (Embeding) es una inmersión en la cual
$f$ es inyectiva, es decir es una inmersión inyectiva, lo cual
implica que no admite auto-intersecciones. } en $\mathbb{R}^3$ que
encierra un sólido con un volumen $Vol$, entonces:

\begin{equation}
\int_M\frac{1}{|H|}dA\geq 3 Vol.
\end{equation%%
}

La igualdad es válida si $M$ es una esfera.

\textbf{Teorema 5. (Teorema de Alexandrov)} Sea $M$ una superficie
compacta embebida en $\mathbb{R}^3$ que encierra un sólido con un
volumen $Vol$ y tiene curvatura media $H$ constante, entonces $M$ es
la esfera estándar.

\end{document}
