\documentclass[pdf,wTitlebx,nocolorBG]{prosper}
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% ----------------------------------------------------------------0
\title{\Huge Super{f}icies Mínimas}
\subtitle{Sus Matemáticas y su Historia}
\author{\href{http://wwwprof.uniandes.edu.co/~jarteaga/}{ José Ricardo Arteaga B.}}
%\institution{
%Departamento de Matemáticas \\%
%Universidad de los Andes, Bogotá \\
%jarteaga@uniandes.edu.co
%\vspace{1cm}\\
%2005}%
\slideCaption{Super{f}icies Mínimas}

\begin{document}
\maketitle

% ----------------------------------------------------------------1
\overlays{3}{
\begin{slide}{Parametrización}
\begin{itemstep}
\item Superficie $M$ en $\mathbb{R}^3$
\bigskip
\item 'Deformación' $X:D\subseteq \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$
\bigskip
\item $X: (u,v) \longrightarrow (x^1(u,v),x^2(u,v),x^3(u,v))$
\end{itemstep}
\end{slide}
}

% ----------------------------------------------------------------2

\begin{slide}{Helicoide}
\rightline{$ X(u,v)=( u \cos v,u \sin v, v ) $}
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=15cm,%
natwidth=10cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{helicoide.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
Helicoide
\[
\begin{array}{l}
  X^1(u,v)= u \cos v \\
  X^2(u,v)= u \sin v \\
  X^3(u,v)=  v \\
\end{array}
\]
\end{minipage}
\end{slide}

% ----------------------------------------------------------------3
%\overlays{2}{
\begin{slide}{Caso especial}
\begin{itemstep}
\item
Superficie dada por la ecuación $z=f(x,y)$
\bigskip
\item
Parametrización de Monge $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$
\end{itemstep}
\end{slide}
%}

% ----------------------------------------------------------------4
\begin{slide}{Paraboloide hiperbólico}
\[
X(u,v)=( u, v, uv )
\]
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=7.5cm,%
natwidth=5cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{silla.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
$z=f(x,y)=xy$
\end{minipage}
\end{slide}
%\end{document}


% ----------------------------------------------------------------5
%\overlays{4}{
\begin{slide}{Primera Forma Fundamental}
\begin{itemize}
\item
$I=
\left(%
\begin{array}{cc}
  E & F \\
  F & G \\
\end{array}%
\right)%
$
\bigskip
\item
$E=X_u\cdot X_u$%
\item
$F=X_u\cdot X_v$%
\item
$G=X_v\cdot X_v$
\end{itemize}
\end{slide}
%}

% ----------------------------------------------------------------6
%\overlays{4}{
\begin{slide}{Segunda Forma Fundamental}
\begin{itemize}
\item
$II=
\left(%
\begin{array}{cc}
  l & m \\
  m & n \\
\end{array}%
\right)%
$
\bigskip
\item
$l=X_{uu}\cdot U = X_{uu}\cdot X_u\times X_v /|X_u\times X_v|$%
\item
$m=X_{uv}\cdot U = X_{uv}\cdot X_u\times X_v /|X_u\times X_v|$%
\item
$n=X_{vv}\cdot U = X_{vv}\cdot X_u\times X_v /|X_u\times X_v|$%
\end{itemize}
\end{slide}
%}

% ----------------------------------------------------------------7
%\overlays{2}{
\begin{slide}{Operador Forma}
\begin{itemize}
\item
$S=
\left(%
\begin{array}{cc}
  a & c \\
  b & d \\
\end{array}%
\right)%
$
\bigskip
\item

$ S= (II)(I)^{-1} $

\end{itemize}
\end{slide}
%}

% ----------------------------------------------------------------8
\overlays{4}{
\begin{slide}{Propiedades del Operador Forma}
\begin{itemstep}
\item Es una transformación lineal
$S:T_{P}M \longrightarrow T_{P}M$ $S(\textbf{v})=\textbf{w}=\alpha
X_u + \beta X_v$
\item
Es simétrica, es decir $S(\textbf{v})\cdot \textbf{w} = \textbf{v}
\cdot S(\textbf{w})$
\item
Tiene valores propios reales, y es diagonalizable.
\item
$ S=
\left(%
\begin{array}{cc}
  k_1 & 0 \\
  0 & k_2 \\
\end{array}%
\right)
$
\end{itemstep}
\end{slide}
}

% ----------------------------------------------------------------9
\begin{slide}{}

{\huge Curvatura de Gauss
\[ K=k_1 k_2 \]}

{\huge Curvatura Media
\[H=\frac{k_1 + k_2}{2}\]}

\end{slide}

% ----------------------------------------------------------------9
\begin{slide}{Ecuaciones Importantes}
\begin{itemize}
\item La ecuación general que caracteriza las superficies
mínimas, una vez se conoce su parametrización es:
\begin{equation}\label{eq1}
H=\frac{k_1 + k_2}{2}=0
\end{equation}
\item Si $z=f(x,y)$ es una función suave, entonces para
saber si es una superficie mínima, es verificar si
satisface la ecuación de \emph{Euler-Lagrange}:
\begin{equation}\label{eq2}
f_{uu}(1+f_v^2) - 2f_u f_v f_{uv} + f_{vv}(1+fu^2) = 0
\end{equation}
\end{itemize}
\end{slide}

% ----------------------------------------------------------------9
\begin{slide}{Búsqueda de Superficies Mínimas}
\begin{itemize}
\item Hallar soluciones a la ecuación de Euler-Lagrange,
dado que esta ecuación es una condición necesaria y
suficiente.
\item Usar las representaciones de Weierstrass-Enneper I y
II%
\end{itemize}

\hspace{1cm}$x^1(z,\bar{z})=Re\int f(1-g^2) dz $\\%
\hspace{1cm}$x^2(z,\bar{z})=Re\int i f(1+g^2) dz $\\%
\hspace{1cm}$x^3(z,\bar{z})=Re2\int fg dz $%

\vspace{1cm}

\hspace{1cm}$x^1(z,\bar{z})=Re\int F(\tau)(1-\tau^2) dz $\\%
\hspace{1cm}$x^2(z,\bar{z})=Re\int i F(\tau)(1+\tau^2) dz $\\%
\hspace{1cm}$x^3(z,\bar{z})=Re2\int F(\tau) \tau dz$
\end{slide}

% ----------------------------------------------------------------12
\overlays{3}{
\begin{slide}{Caracterización Superficies Mínimas}
\begin{itemstep}
\item
\emph{Curvatura Media}. %
\[
H = 0
\]
\item \emph{Curvatura de Gauss}
\[
K\leq 0
\]
\item Curvaturas principales
\[
k_1 \qquad k_2
\]
son ambas cero o difieren sólo en signo.
\end{itemstep}
\end{slide}
}

% ----------------------------------------------------------------13 Helicoide

\begin{slide}{Helicoide}
\[
X(u,v)=( u \cos v,u \sin v, v )
\]
\newline
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=15cm,%
natwidth=10cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{helicoide.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\[
K=-\frac{1}{(1+u^2)^2}
\]
\[
H=0
\]
\end{minipage}
\end{slide}


% ----------------------------------------------------------------14 Catenoide

\begin{slide}{Catenoide}
\[
X(u,v)=( u,\cosh(u) \cos(v), \cosh(u) \sin(v))
\]
\newline
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=15cm,%
natwidth=10cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{catenoide.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\[
K=-\frac{1}{\cosh^4 u}
\]
\[
H=0
\]
\end{minipage}
\end{slide}

% ----------------------------------------------------------------15 Enneper
\begin{slide}{Superficie de Enneper}
\[
X(u,v)= \left(
u-\frac{1}{3}u^3+uv^2,v-\frac{1}{3}v^3+vu^2,u^2-v^2\right)
\]
\newline
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=15cm,%
natwidth=10cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{enneper.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\[
K=-\frac{4}{(1+u^2+v^2)^4}
\]
\[
H=0
\]
\end{minipage}
\end{slide}



% ----------------------------------------------------------------15 Scherk
\begin{slide}{Superficie de Scherk}
\[
X(u,v)= \left( u, v, \ln\left(\frac{\cos u}{\cos
v}\right)\right)
\]%$=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\}|\sin z=\sinh x \sinh y$
\newline
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=15cm,%
natwidth=10cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{scherk.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\[
K=-\frac{4}{(1+u^2+v^2)^4}
\]
\[
H=0
\]
\end{minipage}
\end{slide}



% ----------------------------------------------------------------16 Riemann
\begin{slide}{Superficie de Riemann}
\[
F(z)=t\frac{z^2+3}{z^2-1}
\]
\newline
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=15cm,%
natwidth=10cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{riemann.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
%\[
%K=
%\]
\[
H=0
\]
\end{minipage}
\end{slide}


% ----------------------------------------------------------------17 Schwarz
\begin{slide}{Superficie de Schwarz}
%\[
%X(u,v)= \left( \right)
%\]
%\newline
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=15cm,%
natwidth=10cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{schwarz.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
%\[
%K=
%\]
\[
H=0
\]
\end{minipage}
\end{slide}

% ----------------------------------------------------------------17 Catalan
\begin{slide}{Superficie de Catalan}
\[
X(u,v)= \left(%
u-\sin u \cosh v,%
1-\cos u \cosh v,%
4\sin(u/2)\sinh(v/2)%
\right)
\]
\newline
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=10cm,%
natwidth=10cm,%
height=7cm,%
width=7cm%
]%
{catalan.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\[
K=-\frac{\sec h ^4(v/2)}{8(\cos u - \cosh v)}
\]
\[
H=0
\]
\end{minipage}
\end{slide}

% ---------------------------------------------------------------- Historia
\overlays{4}{
\begin{slide}{Breve historia}
\begin{itemstep}
\item 1744. Leonard Euler (1707-1783), Suiza. Helicoide.
\item 1762. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Francia. En su memoria "\emph{Essai d'une
nouvelle méthode pour déterminer les maxima et minima des formules
intégrales indefinies}" \, desarrolló un algoritmo para el cálculo
de variaciones que dio lugar a la ecuación diferencial de
Euler-Lagrange:
\[
(1+f_y^2)f_{xx}-2f_xf_yf_{xy}+(1+f_x^2)f_{yy}=0
\]
\item 1776. Jean Baptiste Meusnier (1754-1793), Francia. Catenoide. Por
sugerencia de Sophie Germain le llamó a esa cantidad geométrica
asociada a la forma en que se curvaba la superficie en el espacio, y
que satisfacía la ecuación de Euler Lagrange, \emph{Curvatura
Media}$H$.
\item 1784-1787. G. Monge, A. Legendre, S.F. Lacroix y A.M. Ampère
encontraron soluciones a la ecuación de Lagrange.
\end{itemstep}
\end{slide}
}

% ---------------------------------------------------------------- Historia
\overlays{6}{
\begin{slide}{Historia - Continuación}
\begin{itemstep}
\item 1835. Heinrich Ferdinand Scherk (1798-1885), Alemania.
Encontró cinco nuevas superficies mínimas usando la representación
de Monge-Legendre. La idea fundamental fue usar técnicas de
separación de variables.
\item 1842. Antoine Ferdinand Plateau (1801-1883), Bélgica: \textbf{Problema de
Plateau:} "\emph{Existencia o no existencia de superficies minimales en $\mathbb{R}^3$
con frontera prefijada}".
Fue uno de los problemas del siglo XX planteados por Hilbert.%
\item 1843. Eugène Charles Catalan (1814-1894), Bélgica.
Probó que el Helicoide es la única superficie reglada diferente del plano.
\item 1864. A. Enneper.
\item 1865. H.A. Schwarz. (1843-1921), Alemania. La teoría de
superficies minimales sufrió un gran impulso por los´nuevos
métodos para resolver el problema de Plateau planteados por
Schwarz con borde un cuadrilátero prefijado. Estos trabajos
están basados en las representaciones de Weierstrass.
\item 1868. G.F.B. Riemann (1826-1866), Alemania.
\end{itemstep}
\end{slide}
}

% ---------------------------------------------------------------- Historia
\overlays{7}{
\begin{slide}{Historia - Continuación}
\begin{itemstep}
\item Con los trabajos de K. Weierstrass (1861), J. Weingarten (1863), B. Riemann (1866), A. Paterson (1866) y E. Beltrami
(1868), en cuanto a nuevos métodos y nuevas representaciones surgen
nuevas posibilidades para resolver el problema de Plateau usando la
teoría de variable compleja, funciones analíticas, funciones
armónicas.
\item 1927. Harr. Prueba la existencia de la solución al
problema de Plateau.
\item 1927 T.Rado.Prueba la regularidad y minimalidad de la
solución.
\item 1930. \textbf{Solución Problema de Plateau:} Jesse Douglas (1897-1965), EEUU, y Tibor Rado
(1895-1965), Hungría.
\item 1970. A.H. Schoen
\item 1981. C.C. Chen, Gackstatter
\item 1982. C. Costa, D. Hoffmann, W.H. Meeks
\item 1988. H. Karcher
\item 1993. H.Karcher,  D.Hoffman, F. Wei
\end{itemstep}
\end{slide}
}

% ---------------------------------------------------------------- Actualidad

\begin{slide}{Tiempos Modernos}
\begin{itemstep}
\item En los últimos 30 a\~nos el interés est\'a en estudiar superficies
que creciendo su frontera, se extienden indefinidamente en
el espacio, es decir en \emph{superficies minimales
completas}.
\item Las escuelas de Geómetras que trabajan en este sentido son las de R. Osserman,
A. Ros, A.V. Pogorelov, W.H. Meeks, y R. Schoen entre
otras.
\end{itemstep}
\end{slide}

% ---------------------------------------------------------------- Internet

\begin{slide}{Recomendados - Internet}
Algunas fotos que se mostraron fueron obtenidas de estos sitios.
\begin{itemstep}
\item \href{http://rsp.math.brandeis.edu/3D-XplorMath/Surface/gallery_m.html}{http://vmm.math.uci.edu/3D-XplorMath/Surface/gallery.html}
\item \href{http://www.ugr.es/~surfaces/}{http://www.ugr.es/~surfaces/}
\item \href{http://math.cl.uh.edu/~gray/Gifminsurfs/minsurf.html}{http://math.cl.uh.edu/~gray/Gifminsurfs/minsurf.html}
\item \href{http://www.indiana.edu/~minimal/toc.html}{http://www.indiana.edu/~minimal/toc.html}
\item \href{http://www.zib.de/polthier/booklet/intro.html}{http://www.zib.de/polthier/booklet/intro.html}
\item \href{http://www.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/main.html}{http://www.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/main.html}
\end{itemstep}
\end{slide}


% ---------------------------------------------------------------- Textos

\begin{slide}{Referencias}
\begin{itemstep}
\item John Oprea, Differential Geometry and Its Applications, Second Edition, Cleveland State University. Prentice Hall 2004.
\item Carmo Manfredo Perdigao Do, Differential Geometry of
Curves and Surfaces, Ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs,
1976
\end{itemstep}
\end{slide}


\end{document}




% ---------------------------------------------------------------- Samples

\begin{slide}{T}
\begin{itemstep}
\item *
\item *
\end{itemstep}
\end{slide}


% ----------------------------------------------------------------Overlays
\overlays{3}{
\begin{slide}{P}
\begin{itemstep}
\item
\bigskip
\item
\bigskip
\item
\end{itemstep}
\end{slide}
}

% ----------------------------------------------------------------Gráfico
\begin{slide}{ }
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=15cm,%
natwidth=10cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{*.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
*
\end{minipage}
\end{slide}
