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\setlength{\textwidth}{17cm} \thispagestyle{empty}
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]


\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE 2410 Geometría Diferencial \\
Lab1 (Primera parte) --- (25/08/2005)}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%% Propuesto por Liliana Garrido
\item%
Considere el paraboloide $z=x^2+y^2$, y la esfera $x^2+y^2+z^2=2$.
Hallar el volumen del sólido bajo la esfera y sobre el paraboloide.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%% Propuesto por María Consuelo Duarte de Pedraza
\item%
Hallar el valor de $\int_C \overrightarrow{\textbf{F}}\cdot
\overrightarrow{d\textbf{r}}$ donde
$\overrightarrow{\textbf{F}}(x,y,z)=\langle 2z, 4x,5y \rangle$ y $C$
es la curva de intersección del plano $z=x+4$ con el cilindro
$x^2+y^2=4$ orientada en la dirección del eje $z$ positivo.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%% Propuesto por María Consuelo Duarte de Pedraza
\item%
Encontrar los valores máximo y mínimo de la función $f(x,y)=3x+4y$
sobre la circunferencia $x^2+y^2=1$

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%% Propuesto por José Ricardo Arteaga
\item%
Dos partículas $A$ y $B$ se mueven en el plano $xy$ tales que sus
posiciones en el tiempo $t$, considerado únicamente para $1 \leq t \leq 9$, están dadas por%
\[
\overrightarrow{\textbf{a}}(t)=%
(t-4) \widehat{\textbf{i}}+%
(t^2-8t+16)\widehat{\textbf{j}}%
\quad \textstyle{y} \quad%
\overrightarrow{\textbf{b}}(t)=%
(6-t)\widehat{\textbf{i}}+%
(t-4)\widehat{\textbf{j}}%
\]
respectivamente.
\begin{enumerate}
\item%
$[3 \textmd{pt.}]$ Cuál de las dos partículas va más rápido en
$t=1$?
\item%
$[3 \textmd{pt.}]$ Los caminos descritos por las partículas se
intersectan?. Si lo hacen halle las coordenadas de los puntos de
intersección.
\item%
$[4 \textmd{pt.}]$ Las partículas colisionan?. Si lo hacen para que
valor del tiempo $t$ lo hacen?
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 5 %%%%%%%%%%%%%%%% Propuesto por Eduardo Ramírez y José Darío López (Modificado)
\item%
Considere la superficie $S$ del paraboloide $z=4-x^2-y^2$, $z\geq 0$
y el campo vectorial
\[
\overrightarrow{\textbf{F}}(x,y,z)=(x+y)\widehat{\textbf{i}}+(2y-z^2)\widehat{\textbf{j}}+(4z)\widehat{\textbf{k}}
\]
Calcular el flujo del campo a través de la superficie, es decir
hallar: $\iint\limits_S \overrightarrow{\textbf{F}}\cdot
\overrightarrow{d\textbf{S}} $

\textsc{Nota:} \emph{La superficie no contiene la tapa de abajo.}

\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 120 minutos

\texttt{Buena Suerte!}

\vspace{1cm} \textsc{No se permiten: textos, apuntes, calculadoras.
Favor apagar su celular.}

\end{document}
