\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}



\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE 2410 Geometría Diferencial - Sección: 1 \\
Superficies y Fórmulas Importantes \\
 }
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA B. %

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}



\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%

\item%
\textbf{Cilindro} vertical.
\[
\frac{x^2}{a^2} +  \frac{y^2}{a^2} =1
\]
\item%
\textbf{Catenoide}.
\[
X(u,v)=\left[u,\cosh(u) \cos(v), \cosh(u) \sin(v)\right]
\]
\item%
Superficie de \textbf{Enneper}.
\[
X(u,v)=\left[u-\frac{1}{3}u^3+uv^2,v-\frac{1}{3}v^3+vu^2,u^2-v^2\right]
\]
Para graficar puede tomar $-2\leq u,\quad v\leq 2$ .
\item%
Superficie "\textbf{rara}" (buscaré el nombre si existe)
\[
X(u,v)=\left[
\frac{cu\pm \sin(u) \cosh(v)}{\sqrt{1-c^2}},
\frac{v\pm \cos(u) \sinh(v)}{\sqrt{1-c^2}},
\cos(u) \cosh(v)\right]
\]
Para graficar puede tomar $-3\leq u,\quad v\leq 3$ .
\item%
\textbf{Silla} de montar.
\[
z=xy \qquad \textsl{o también}\qquad  z=x^2-y^2
\]
Use parametrización de Monge, para hallar $X=X(u,v)$
\item%
\textbf{Toro}.
\[
X(u,v)=\left[(R+r\cos u)\cos v, (R+r\cos u)\sin v, r\sin u\right]
\]
\item%
\textbf{Vector normal} unitario.
\[
U=\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}
\]
\item%
\textbf{Operador forma} $S$.
\[
S_p(\textbf{v})=-\nabla_\textbf{v} U
\qquad
S_p
\left(
\begin{array}{c}
X_u \\
X_v\\
\end{array}
\right)
=
\left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right]
\left(
\begin{array}{c}
X_u \\
X_v\\
\end{array}
\right)
\]
\item%
Coeficientes de la \textbf{Primera Forma Fundamental} (EFG)
\[
E=X_u\cdot X_u,\quad F=X_u\cdot X_v,\quad  G=X_v\cdot X_v \qquad
PFF=
\left[
\begin{array}{cc}
E & F\\
F & G \\
\end{array}
\right]
\]
La \textbf{métrica} de la superficie en $\mathbb{R}$ se escribe $ds^2=Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2$
\item%
Coeficientes de la \textbf{Segunda Forma Fundamental} (lmn)
\[
l=U \cdot X_{uu},\quad m=U \cdot X_{uv},\quad  n=U \cdot X_{vv} \qquad
SFF=
\left[
\begin{array}{cc}
l & m\\
m & n \\
\end{array}
\right]
\]
donde
$l=S_p(X_u)\cdot X_u = U\cdot X_{uu}$,
$m=S_p(X_u)\cdot X_v = U\cdot X_{uv}$, y
$l=S_p(X_v)\cdot X_v = U\cdot X_{vv}$.
Para hallar los valores de $a, b, c, d$ se usan las anteriores propiedades.
\item%
Relación entre el operador forma y las formas fundamentales:
\[
\left[
\begin{array}{cc}
l & m \\
m & n \\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G \\
\end{array}
\right]
\]
\item%
\textbf{Curvaturas}: Curvatura normal ($k(u)$), Curvaturas principales ($k_1$ y $k_2$), Curvatura de Gauss ($K$) y Curvatura media ($H$).
\[
K=\det(S)=k_1 k_2 \qquad H=\frac{1}{2}\texttt{tr} (S)=\frac{1}{2}(k_1 + k_2)
\]
donde $k_1$ y $k_2$ son los valores propios de $S$. A los vectores propios de $S$ se les llaman direcciones principales.

\end{enumerate}

\end{document}
