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% ----------------------------------------------------------------
\begin{document}

% ---------------------------------------------------------------- 1
\begin{slide}{Solución de Bernoulli}

\begin{enumerate}
\item \emph{Modelamiento del problema}, es decir
definiendo variables, funciones etc., y usando ciertos principios
escribir matemáticamente el problema. En este caso será una ecuación
diferencial.
\item \emph{Resolver dicha ecuación}.
\item \emph{Construir dicha curva}.
\end{enumerate}
\end{slide}

% ---------------------------------------------------------------- 2
\begin{slide}{Planteamiento de la ecuación diferencial}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Variables}. En el plano de la curva tomamos el sistema
coordenado con el punto $A$ en el origen, el eje $y$ el eje vertical
(positivo hacia abajo) y el eje $x$ el eje horizontal (positivo a la
derecha).
\item \textbf{Problema de óptica}. Con el \textcolor{blue}{principio
 de Fermat del tiempo mínimo} se
deduce la \emph{ley de Snell de la refracción} y pasando al límite
una ley para un medio óptico estratificado.
\item \textbf{La ecuación de la Baquistocrona}. Por el \textcolor{blue}{principio de
conservación de energía}, y un poco de geometría, trigonometría y
cálculo se obtiene la ecuación diferencial de primer orden asociada
a la Baquistocrona.
\begin{equation}\label{1}
y\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]=c, \qquad
c=\texttt{const}.
\end{equation}
\end{enumerate}
La solución $y=y(x)$ es la función buscada.
\end{slide}

% ---------------------------------------------------------------- 3

\begin{slide}{Solución de la ecuación diferencial}

Separamos variables de (\ref{1})
\begin{eqnarray}\label{2}
dx=\left(\frac{y}{c-y}\right)^{1/2}dy
\end{eqnarray}
Introducimos una nueva variable $\theta$
\begin{eqnarray}\label{3}
\tan(\theta/2)=\left(\frac{y}{c-y}\right)^{1/2}
\end{eqnarray}
Despejamos de  (\ref{3}) y diferenciamos
\begin{eqnarray}\label{4}
\boxed{y=c\sin^2(\theta/2)}\quad
dy=c\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)d\theta
\end{eqnarray}

Reemplazamos en (\ref{2})

\(
dx=\tan(\theta/2)dy = c \sin^2(\theta/2)d\theta =\\
\frac{c}{2}(1-\cos\theta) d\theta \)

Después de integrar tenemos
\begin{equation}\label{5}
x=b(\theta -\sin\theta)\quad y=b(1-\cos\theta)
\end{equation}

\end{slide}


\end{document}

% ----------------------------------------------------------------
\begin{slide}{S}
\end{slide}
