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% ----------------------------------------------------------------0
\title{\Huge La Braquistocrona}
\subtitle{Feria de las Ciencias}
\author{\href{http://wwwprof.uniandes.edu.co/~jarteaga/}{ José Ricardo Arteaga B.}}
\institution{
Departamento de Matemáticas \\%
Universidad de los Andes, Bogotá \\
jarteaga@uniandes.edu.co
\vspace{1cm}\\
2005}%
\slideCaption{Braquistocrona}

\begin{document}
\maketitle


% ----------------------------------------------------------------1

\begin{slide}{Problema}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=7.5cm,%
natwidth=5cm,%
height=5cm,%
width=3cm]%
{braquistocrona.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\begin{itemize}
\item Imagine una trayectoria que une el punto $A$ y el punto $B$, el
cual está mas bajo que $A$ y situada en el mismo plano vertical que
contiene los puntos.
\item Imagine una bola que se desliza, sin rozamiento, por la
trayectoria desde $A$ hasta $B$
\item ?`Cómo debería ser la trayectoria para que la bola emplee el
\textcolor{red}{menor tiempo} posible?.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{slide}

% ----------------------------------------------------------------2
\begin{slide}{Galileo Galilei, Italia (1564-1642)}
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=6cm,%
natwidth=3cm,%
height=6cm,%
width=3cm%
]%
{galileo.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{itemize}
\item Galileo pensó que desciende más rápido por un \textcolor{blue}{camino circular}.
\item Está Usted de acuerdo con Galileo?
\item Cuál sería el radio y dónde estaría su centro?
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{slide}

% ----------------------------------------------------------------3
\begin{slide}{Johann Bernoulli, Suiza (1667-1748)}
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=7cm,%
natwidth=4cm,%
height=6cm,%
width=3.5cm%
]%
{bernoullijohann.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{itemize}
\item Bernoulli en 1696 planteó un problema más general.
\item Imaginemos un hilo en forma de curva arbitraria. ?`Qué curva
\emph{entre todas} las posibles lograría un descenso más rápido de
la bola?.
\item A este problema se le llamó el \textcolor{blue}{problema de la braquistocrona}.
(Griego: Brachístos = más corto, Chronos = tiempo)
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{slide}


% ---------------------------------------------------------------- 4

\begin{slide}{Solución de Bernoulli}
Pasos a seguir:
\begin{enumerate}
\item \emph{Modelamiento del problema}, es decir
definiendo variables, funciones etc., y usando ciertos principios
escribir matemáticamente el problema. En este caso será una ecuación
diferencial.
\item \emph{Resolver dicha ecuación}.
\item \emph{Construir dicha curva}.
\end{enumerate}
\end{slide}

% ---------------------------------------------------------------- 6

\begin{slide}{Planteamiento de la ecuación diferencial}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Variables}. En el plano de la curva tomamos el sistema
coordenado con el punto $A$ en el origen, el eje $y$ el eje vertical
(positivo hacia abajo) y el eje $x$ el eje horizontal (positivo a la
derecha).
\item \textbf{Problema de óptica}. Con el \textcolor{blue}{principio de Fermat del tiempo mínimo} se
deducirá la \emph{ley de Snell de la refracción} y pasando al límite
una ley para un medio óptico estratificado.
\item \textbf{La ecuación de la Baquistocrona}. Por el \textcolor{blue}{principio de
conservación de energía}, y un poco de geometría, trigonometría y
cálculo se obtiene la ecuación diferencial de primer orden asociada
a la Baquistocrona.
\begin{equation}\label{1}
y\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]=c, \qquad
c=\texttt{const}.
\end{equation}
\end{enumerate}
La solución $y=y(x)$ es la función buscada.
\end{slide}

% ---------------------------------------------------------------- 7
\begin{slide}{Solución de la ecuación diferencial}
Separamos variables de (\ref{1})
\begin{eqnarray}\label{2}
dx=\left(\frac{y}{c-y}\right)^{1/2}dy
\end{eqnarray}
Introducimos una nueva variable $\theta$
\begin{eqnarray}\label{3}
\tan(\theta/2)=\left(\frac{y}{c-y}\right)^{1/2}
\end{eqnarray}
Despejamos de  (\ref{3}) y diferenciamos
\begin{eqnarray}\label{4}
\boxed{y=c\sin^2(\theta/2)}\quad
dy=c\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)d\theta
\end{eqnarray}

\end{slide}


\end{document}




% ---------------------------------------------------------------- Samples

\begin{slide}{T}
\begin{itemstep}
\item *
\item *
\end{itemstep}
\end{slide}


% ----------------------------------------------------------------Overlays
\overlays{3}{
\begin{slide}{P}
\begin{itemstep}
\item
\bigskip
\item
\bigskip
\item
\end{itemstep}
\end{slide}
}

% ----------------------------------------------------------------Gráfico
\begin{slide}{ }
\begin{minipage}{2cm}
\begin{figure}
[h]
\begin{center}
\includegraphics[
natheight=15cm,%
natwidth=10cm,%
height=5cm,%
width=3cm%
]%
{*.png}
\end{center}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5cm}
*
\end{minipage}
\end{slide}
