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\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}



\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE 2410 Geometría Diferencial - Sección: 1 \\
Tarea  \# 1
en grupos (2 o 3)\\
(Fecha de entrega Viernes 2/09/2005) }
\end{center}
Prof. j.r. ARTEAGA %

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm} \\%
\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm} \\%
\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm} \\%
\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}



\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%

\item%
Dada la elipse $\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$
\begin{enumerate}
\item%
Dibuje en un gráfico, $t$ (horizontal) versus $\kappa$ (vertical), el gráfico de su curvatura. Observe donde están los máximos y los mínimos de esta función. Diga aproximadamente dónde se encuentran y su valor.
\item%
En un mismo gráfico, las gráficas de la elipse y su evoluta. Qué representan en la evoluta los máximos y los mínimos que encontró en el punto anterior?.
\item%
Elija un punto sobre la elipse y calcule la curvatura en este punto. Halle entonces el radio de curvatura de la elipse en ese punto. Dibuje en un solo gráfico las siguientes tres curvas: La elipse, su evoluta y la circunferencia con centro sobre la normal a la superficie en el punto escogido que tiene radio igual al radio de curvatura. Dónde está el centro de esta circunferencia?
\item%
La evoluta de la elipse es la misma Astroide para ella?. En caso que no lo sea encuentre y dibuje la Astroide de la elipse.
\item%
Calcule la involuta\footnote{En algunas traducciones involute se traduce como evolvente} de la elipse. Luego la evoluta de la involuta de la elipse. Qué piede decir de la elipse y la evoluta de su involuta?. Su resultado es general para cualquier curva?. Demuéstrelo!.
\end{enumerate}
\item%
Demuestre que evoluta de una tractiz (tome la tractriz con sus dos ramas) es una catenaria y que la involuta de una catenaria es una tractriz.
\item%
Demuestre que la curva
\[
\alpha[n,a]=ae^{it}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-it)^k}{k!}
\]
es la n-ésima involuta pasando por $(a,0)$ de una circunferencia de radio $a$.
\item%
Investigue qué es una curva \textbf{podaria} (o curva pedal) de una curva regular. Determine y represente gráficamente la curva podaria de la elipse del punto 1.
\item%
Investigue qué son las \textbf{circunferencias osculatrices} de una curva regular. Determine y represente las circunferencias osculatrices de la parábola $\displaystyle y=x^2$.
\end{enumerate}

Nota: Para los gráficos que debe incluir, use algún software: Mathematica, Maple, MatCad, etc.
\end{document}
