% ----------------------------------------------------------------
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\markboth{Geometría Diferencial 1 - Prof. J.R. Arteaga
B.}{Resumen de Teoremas y Fórmulas importantes}

\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definición}
\newtheorem{example}[theorem]{Ejemplo}
\newtheorem{xca}[theorem]{Ejercicio}
\newtheorem{remark}[theorem]{Nota}
\numberwithin{equation}{section}


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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE 2410 Geometría Diferencial  1 \\
Resumen de Teoremas y Fórmulas Importantes}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}


%-------------------------------------------
\section{Curvas}

\begin{enumerate}

\item \textbf{Involuta} de una curva $\alpha$
\[
{\cal{I}}(t)=\alpha (t) - s(t)\frac{\alpha ' (t)}{|\alpha
'(t)|}
\]
donde $s(t)=\int_a^t |\alpha '(u)|du$

\item
\textbf{Evoluta} de una curva $\alpha$
\[
{\cal{E}}(t)=\alpha(t)+\frac{1}{\kappa (t)}N(t)
\]

\item Curva \textbf{podaria} o curva pedal de una curva
$\alpha$ respecto a un punto $p$.
\[
{\cal{P}}(t)= p + [(\alpha (t) - p)\cdot N(t)]N(t)
\]


\item Vector \textbf{tangente}:
\[
T(s) =\beta'(s)
\]
donde $\beta (s)$ es la \textbf{re-parametrización} de
$\alpha (t)$ en términos de la longitud de arco, es decir
despejando $t$ en términos de $s$ de la ecuación
$s(t)=\int_a^t |\alpha '(u)|du$ y reemplazando en $\alpha
(t)$.

\item \textbf{Curvatura} de una curva $\alpha$
\[
\kappa (s) = |T'(s)|
\]
\item Vector \textbf{normal} principal
\[
N(s)=\frac{1}{\kappa}T'(s)
\]
\item Vector \textbf{binormal}:
\[
B = T \times N
\]
\item \textbf{Torsión} de una curva:
\[
\tau = - N \cdot B'
\]

\item Fórmulas de \textbf{Frenet}:
\[
\left(
\begin{array}{c}
T'\\
N'\\
B'\\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \kappa & 0 \\
-\kappa & 0 & \tau \\
0 & -\tau & 0\\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
T\\
N\\
B\\
\end{array}
\right) \quad \Leftrightarrow \left(
\begin{array}{c}
T'\\
N'\\
B'\\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \kappa \nu & 0 \\
-\kappa \nu & 0 & \tau \nu \\
0 & -\tau \nu & 0\\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
T\\
N\\
B\\
\end{array}
\right)
\]
donde el primer grupo está dado en término de la longitud
de arco $s$ y el segundo en general, donde $\nu = |\alpha
'(t)|$, es decir la rapidez de la partícula. La s
derivadeas se hacen según el parámetro.

\item Otras
fórmulas en términos de un parámetro normal (corriente)
\[
T = \frac{\alpha'(t)}{|\alpha' (t)|}\quad B=\frac{\alpha '
\times \alpha ''}{|\alpha' \times \alpha ''|}\qquad N =
B\times T \quad \kappa =\frac{|\alpha' \times \alpha
''|}{|\alpha'|^3}\qquad \tau=\frac{(\alpha' \times \alpha
'')\cdot \alpha'''}{|\alpha' \times \alpha ''|^2}
\]

\item Vector de \textbf{Darboux} $\omega$.
\[
\begin{array}{l}
T'=\omega \times T \\
N'=\omega \times N \\
B'=\omega \times B \\
\end{array}
\]

\end{enumerate}


%-------------------------------------
\section{Superficies}

\begin{enumerate}


\item \textbf{Vector normal} unitario.
\[
U=\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}
\]
\item \textbf{Operador forma} $S$.
\[
S_p(\textbf{v})=-\nabla_\textbf{v} U \qquad S_p \left(
\begin{array}{c}
X_u \\
X_v\\
\end{array}
\right) = \left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right] \left(
\begin{array}{c}
X_u \\
X_v\\
\end{array}
\right)
\]
\item Coeficientes de la \textbf{Primera Forma
Fundamental} ($[EFG]$)
\[
E=X_u\cdot X_u,\quad F=X_u\cdot X_v,\quad  G=X_v\cdot X_v
\qquad [EFG]= \left[
\begin{array}{cc}
E & F\\
F & G \\
\end{array}
\right]
\]
La \textbf{métrica} de la superficie en $\mathbb{R}$ se
escribe $ds^2=Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2$ \item Coeficientes de la
\textbf{Segunda Forma Fundamental} ($[lmn]$)
\[
l=U \cdot X_{uu},\quad m=U \cdot X_{uv},\quad  n=U \cdot
X_{vv} \qquad [lmn]= \left[
\begin{array}{cc}
l & m\\
m & n \\
\end{array}
\right]
\]
donde $l=S_p(X_u)\cdot X_u = U\cdot X_{uu}$,
$m=S_p(X_u)\cdot X_v = U\cdot X_{uv}$, y $l=S_p(X_v)\cdot
X_v = U\cdot X_{vv}$. Para hallar los valores de $a, b, c,
d$ se usan las anteriores propiedades. \item Relación entre
el operador forma y las formas fundamentales
($[S][EFG]=[lmn]$):
\[
\left[
\begin{array}{cc}
l & m \\
m & n \\
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G \\
\end{array}
\right]
\]

\end{enumerate}


%--------------------------------------
\section{Curvaturas}

\noindent \textbf{Curvaturas}: Curvatura normal
($k(\textbf{u}_p)$), Curvaturas principales ($k_1$ y
$k_2$), Curvatura de Gauss ($K$) y Curvatura media ($H$).
\[
k(\textbf{u}_p)= S(\textbf{u}_p)\cdot \textbf{u}_p;\qquad
K=\det(S)=k_1 k_2; \qquad H=\frac{1}{2}\texttt{tr}
(S)=\frac{1}{2}(k_1 + k_2)
\]
donde $\textbf{u}_p \in T_p M$ es un vector tangente, y
$k_1$ y $k_2$ son los valores propios de $S$. A los
vectores propios de $S$ se les llaman \textit{direcciones
principales}.

\noindent \textbf{Lema (fuerte)}: Sea $\alpha$ una curva
sobre una superficie regular $M\subset \mathbb{R}^3$,
entonces
\newline $\alpha '' \cdot U = S(\alpha ')\cdot  \alpha '$.



\noindent La \textit{curvatura de Gauss} $K$ y la
\textit{curvatura media} $H$ en términos de los
coeficientes de la primera y segunda forma fundamental
están dadas por:

\[
K=\frac{ln-m^2}{EG-F^2}
\qquad
H=\frac{Gl+En-2Fm}{2(EG-F^2)}
\]

\subsection*{Superficies de revolución}

Sea $\displaystyle X(u,v)=\left(g(u),\, h(u) \cos v , \,
h(u) \sin v \right) $ una superficie de revolución,
entonces los coeficientes de la \textbf{primera forma
fundamental}, de la \textbf{segunda forma fundamental}, la
\textbf{curvatura de Gauss} $K$ y la \textbf{curvatura
media} $H$ están dados por:
  \begin{center}
    \begin{tabular}{lll}
        $E=g'^2+h'^2$ & \quad $F=0$ & \quad $G=h^2$  \\
            $\displaystyle l=\frac{g''h'-h''g'}{\sqrt{g'^2+h'^2}}$  & \quad $m=0$ & \quad $\displaystyle n=\frac{hg'}{\sqrt{g'^2+h'^2}}$ \\
    \end{tabular}
  \end{center}
\[
K=\frac{g'(g''h'-h''g')}{h(g'^2 +h'^2)^2}
\]


\[
H=\frac{k_{\mu}+k_{\pi}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{-h''}{(1+h'^2)^{3/2}}+\frac{1}{h(1+h'^2)^{1/2}}\right)=
\frac{1}{2}\left(\frac{-hh''+1+h'^2}{h(1+h'^2)^{3/2}}\right)
\]



\noindent \textbf{Teorema 3.5.2} Una superficie que
consiste solo de puntos umbílicos está contenida o en una
esfera o en un plano.

\noindent \textbf{Teorema 3.5.3} Sobre toda superficie
compacta $M\subseteq \mathbb{R}^3$ hay al menos un punto
$p$ tal que $K(p)>0$

\noindent \textbf{Corolario 3.5.4} No existen superficies
compactas en $\mathbb{R}^3$ con $K\leq 0$. En particular no
es posible tener superficies mínimas inmersas uno a uno
(embedding='embebidas') en $\mathbb{R}^3$ que sean
compactas.

\noindent \textbf{Teorema 3.5.5 (Liebmann)} Si $M$ es una superficie
compacta con curvatura de Gauss constante $K$, entonces $M$ es una
esfera de radio $1/\sqrt{K}$.

\noindent \textbf{Lema 3.5.6 (Hilbert)} Si $k_1$ tiene un
máximo en $p$, $k_2$ tiene un mínimo en $p$ y
$k_1(p)>k_2(p)$, entonces $K(p)\leq 0$

\noindent \textbf{Teorema 3.5.7} Si una superficie de
revolución $M$ es mínima, entonces está contenida o en un
plano o en un catenoide.


%----------------------------------------------
\section{Superficies con curvatura media $H$ constante}

\noindent \textbf{Proposición 4.2.2} Sea $z=f(x,y)$ un
función de dos variables. Si tomamos la parametrización de
Monge para este gráfico, $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$, la
superficie $M$ es mínima si y solo si
\[
f_{uu}(1+f_v^2)-2f_u f_v f_{uv} +f_{vv}(1+fu^2)=0
\]
Además
\[
H=\frac{f_{uu}(1+f_v^2)-2f_u f_v f_{uv} +f_{vv}(1+fu^2)}{2(1+fu^2+f_v^2)^{3/2}}
\]

\noindent \textbf{Observación} A la ecuación
\[
f_{uu}(1+f_v^2)-2f_u f_v f_{uv} +f_{vv}(1+fu^2)=0
\]
se le llama la ecuación de Euler-Lagrange, y puede ser
obtenida optimizando el funcional de área. Las curvaturas
medias de las superficies mínimas son entonces puntos
críticos de este funcional.

\noindent \textbf{Teorema 4.2.6 (Catalan)} Toda superficie reglada
mínima en $\mathbb{R}^3$ es parte de un plano o de una helicoide.


\noindent \textbf{Teorema 4.3.4.} Si $M$ es una superficie que
minimiza área, y $M$ es la gráfica de una función $z=f(x,y)$
entonces $M$ es una superficie mínima.

\noindent \textbf{Teorema 4.4.4.} Una pompa de jabón debe
siempre tomar la forma de una superficie de curvatura media
constante.

\noindent \textbf{Teorema 4.4.5. (Ros)} Sea $M$ una
superficie compacta embebida en $\mathbb R^3$, la cual
acota un dominio $D$ que tiene volumen $Vol$. Si $H>0$,
entonces
\[
\int_M \frac{1}{|H|} dA\geq 3 Vol.
\]
La igualdad se satisface únicamente para la esfera estándar, para la
cual se toma la normal interior. En este caso $H=\frac{1}{R}>0$

\noindent \textbf{Teorema 4.4.6. (Alexandrov)} Si $M$ es una
superficie compacta embebida en $\mathbb R^3$ de curvatura media
constante entonces $M$ es la esfera estándar $S^2$.

\noindent \textbf{Definición 4.5.1.} Una función real
$\phi(x,y)$ es armónica si todas las segundas derivadas son
continuas en todos los puntos del dominio y además
satisfacen la ecuación de Laplace $\nabla \phi =
\phi_{xx}+\phi_{yy}=0$

\noindent \textbf{Teorema 4.5.3.} Si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
es una función de variable compleja analítica\footnote{ Una
función $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es \textit{analítica u
holomorfa}, es decir que $f'(z)$ exista en cada punto de
una región $D$ del plano complejo $\mathbb C$ si y solo si
todas sus derivadas parciales de las funciones componentes
existen $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial
u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial v}{\partial y}$ y además satisfacen las
ecuaciones de Cauchy-Riemann $\frac{\partial u}{\partial
x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial
u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$. Una
función $f$ se dice que es \textit{meromorfa} si todas sus
singularidades son polos. Toda función racional
$g(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ con $P(z)$ y $Q(z)$ polinomios es
una función meromorfa. } , entonces $u$ y $v$ son
armónicas.


\noindent \textbf{Teorema 4.7.1.} Las coordenadas isotérmicas
siempre existen para cualquier superficie $M\subseteq \mathbb{R}^3$
mínima.

\noindent \textbf{Teorema 4.8.2.} Sea
$X(z,\bar{z})=(x^1(z,\bar{z}), x^2(z,\bar{z}),
x^3(z,\bar{z}))$ una parametrización isotérmica de $M$ y
sea $\phi=\frac{\partial X}{\partial z}$. La superficie $M$
es mínima si y solo si $\phi^i$ son holomorfas.

\subsection*{Representaciones de Weierstrass-Enneper }

El objetivo es usar las relaciones de funciones holomorfas
y meromorfas para producir superficies Mínimas.

\textbf{Definición 1.} Si una función $f:\mathbb{C}
\rightarrow \mathbb{C}$ compleja de variable compleja no es
holomorfa (analítica) en $z_0$, pero si lo es en por lo
menos un punto de toda vecindad de $z_0$ diremos que $f$
tiene una \emph{singularidad} en $z_0$, o que $z_0$ es es
un \emph{punto singular} de $f$.

\textbf{Definición 2.} Un punto $z_0$ singular de $f$ se
llama \emph{polo}, si alrededor de cada vecindad de $z_0$
existe una \emph{expansión de Laurent} (generalización de
la expansión de Taylor en variable real) de la forma:
\[
g(z)=\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\cdots +
\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+\sum_{j=0}^{\infty }a_j(z-z_0)^j
\qquad a_{-n}\ne 0
\]
para algún $n$ finito con coeficientes determinados por
$g$.
\[
a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)
dz}{(z-z_0)^{n+1}}
\]
Si $n=1$ se denomina polo simple y si $n\ne 1$ se le llama
polo de orden $n$. Los ejemplos más importantes de
funciones meromorfas son las funciones racionales
$f(z)=\mathcal{P}(z)/\mathcal{Q}(z)$ donde $\mathcal{P}(z)$
y $\mathcal{Q}(z)$ son funciones polinomiales.

\textbf{Definición 3.} Una función $f:\mathbb{C}
\rightarrow \mathbb{C}$ compleja de variable compleja, se
llama \emph{meromorfa} si todas sus singularidades son
polos.

\textbf{Definición 4.}

\begin{eqnarray}
&e^z  =  e^u(\cos v +i\sin v) \qquad%
&\log(z)  = ln\sqrt{u^2+v^2}+ i \arctan\left(\frac{v}{u}\right)\\
&\sin z  =  \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \qquad%
&\cos z  =  \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\
&\sinh z  =  \frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\qquad%
&\cosh z  =  \frac{e^{z}+e^{-z}}{2}
\end{eqnarray}

%----------------------------------------
\textbf{Fórmulas}
\begin{eqnarray}
\sin z & = & \sin u \cosh v + i \cos u \sinh v\\
\cos z & = & \cos u \cosh v + i \sin u \sinh v\\
\sinh z & = & \sinh u \cos v + i \cosh u \sin v\\
\cosh z & = & \cosh u \cos v + i \sinh u \sin v
\end{eqnarray}
%----------------------------------------
\subsubsection*{Representación I}

\noindent \textbf{Teorema 4.8.6. (Representación I de
Weierstrass-Enneper).} Si $f$ es holomorfa sobre un dominio
$D$, $g$ es meromorfa sobre $D$ y $fg^2$ es holomorfa sobre
$D$, entonces una superficie mínima está definida por
$X(z,\bar{z})=(x^1(z,\bar{z}), x^2(z,\bar{z}),
x^3(z,\bar{z}))$, donde

\[
x^1(z,\bar{z})=Re\int f(1-g^2) dz \qquad%
x^2(z,\bar{z})=Re\int i f(1+g^2) dz \qquad%
x^3(z,\bar{z})=Re2\int fg dz
\]

%----------------------------------------
\subsubsection*{Representación II}

\noindent \textbf{Teorema 4.8.7. (Representación II de
Weierstrass-Enneper).} Para cualquier función holomorfa
$F(\tau)$, una superficie mínima está definida por
$X(z,\bar{z})=(x^1(z,\bar{z}), x^2(z,\bar{z}),
x^3(z,\bar{z}))$, donde

\[
x^1(z,\bar{z})=Re\int F(\tau)(1-\tau^2) d\tau  \qquad
x^2(z,\bar{z})=Re\int i F(\tau)(1+\tau^2) d\tau \qquad
x^3(z,\bar{z})=Re2\int F(\tau) \tau d\tau
\]




%----------------------------------------
\section{Geodésicas, Métricas e Isometrías}
\noindent \textbf{Definición}. La \textit{curvatura
geodésica} de una curva $\alpha (t)$ sobre una superficie
$M\subseteq \mathbb R^3$ está definida por $\displaystyle
k_g= \alpha'' \cdot U\times T$, donde $T$ es el vector
tangente unitario a $\alpha$ y $U$ el vector normal
unitario a $M$. Una curva $\alpha$ en $M$ es geodésica si
$\alpha''_{tan}=0$, donde $\alpha_{tan}=k_g U\times T$ es
la componente tangencial de la aceleración.

\noindent \textbf{Teorema 5.1.5}. La curvatura geodésica
depende solo de la métrica. Si $F=0$, entonces
\[
k_g=\sqrt{EG}\left(-\frac{E_v}{2G}u'^3
+\left(\frac{G_u}{G}-\frac{E_u}{2E}\right)u'^2v'
+\left(\frac{G_v}{2G}-\frac{E_v}{E}\right)u'v'^2
+\frac{G_u}{2E}v'^3+u'v''-u''v' \right)
\]

\noindent \textbf{Ecuaciones de las Geodésicas}.
\[
\left\{%
\begin{array}{ll}
    u''+\frac{E_u}{2E}u'^2+\frac{E_v}{E}u'v'-\frac{G_u}{2E}v'^2=0, & \hbox{(1)} \\
    v''-\frac{E_v}{2G}u'^2+\frac{G_u}{G}u'v'+\frac{G_v}{2G}v'^2=0, & \hbox{(2)} \\
\end{array}%
\right.
\]

\noindent \textbf{Teorema 5.2.3}. Sea $P=\textbf{X}(u_0,v_0)$ un punto sobre una superficie $M:
\textbf{X}(u,v)$ y $\textbf{v}\in T_PM$. Entonces existe una única geodésica $\alpha:(-r,r)\to M$
con $\alpha(0)=P$ y $\alpha '(0)=\textbf{v}$

\noindent \textbf{Definición}. La superficie $M$ se llama \emph{geodésicamente completa} si toda
geodésica (rapidez unitaria) tiene dominio $\mathbb{R}$

\noindent \textbf{Teorema 5.3.1 (Hopf-Rinow}. Si $M$ es geodésicamente completa, entonces
cualesquier par de puntos sobre $M$ se pueden unir por medio de una geodésica, la cual tiene la
longitud más corta entre todas las curvas que unen estos dos puntos.

\noindent \textbf{Definición (Isometría).} Sean $M:\textbf{X}(u,v)$
y $N:\textbf{Y}(r,s)$ dos superficies. Si existen funciones suaves
$r$ y $s$ del dominio de $\textbf{X}$ al dominio de $\textbf{Y}$,
$I: M \to N $, con parametrizaciones ortogonales
($F_\textbf{X}=F_\textbf{Y}=0$),
\[
I(\textbf{X}(u,v))=\textbf{Y}(r(u,v),s(u,v))
\]
tal que
\begin{displaymath}
E_\textbf{X}=X_u \circ_X X_u = I_{*}(X_u)\circ_Y I_{*}(X_u)=E_Y
r_u^2+G_Ys_u^2
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
G_\textbf{X}=X_v \circ_X X_v = I_{*}(X_v)\circ_Y I_{*}(X_v)=E_Y
r_v^2+G_Ys_v^2
\end{displaymath}


\noindent \textbf{Definición 5.4.1 (Definición Importante de Gauss)}. Para una superficie con
métrica ortogonal ($F=0$), la curvatura de Gauss se define:
\begin{equation}
K=-\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\left(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)_v+\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right)_u\right)
\end{equation}
Observación: Esta fórmula se puede demostrar, y de hecho lo hicimos en clase, ver ejercicio 3.4.5,
resuelto en clase. Esta fórmula sirve para demostrar el famoso Teorema Egregium de Gauss.

\noindent \textbf{Teorema 5.5.1. (Teorema Egregium de Gauss)}. La curvatura de Gauss $K$ de una
superficie $M$ es invariante por isometrías locales, es decir si $I:M \to N$ es una isometría
$K_M(P)=K_N(I(P))$ para todo $P\in M$


\noindent \textbf{Teorema 5.5.8.} Una isometría envía geodésicas en
geodésicas. Es decir, si $\alpha (t)$ es una geodésica en una
superficie $M: \textbf{X}(u,v)$ y $I:M \to N$ es una isometría,
entonces la curva $\beta (t) = I(\alpha (t)$ es una geodésica de $N:
\textbf{Y}(r,s)$.

%----------------------------------------
\section{Holonomía y el Teorema de Gauss-Bonnet}

\subsection*{Curvatura total de Gauss}
\noindent \textbf{Definición}. La \textit{curvatura total de Gauss}
de una superficie $M: \textbf{X}(u,v)$ es
\[
\int_M K = \iint_{\textbf{X}} K |X_u \times X_v| dudv =
\iint_{\textbf{X}} K \sqrt{EG-F^2} dudv
\]

\subsection*{Derivada covariante}
\noindent \textbf{Definición}. Suponga que $Z=\sum_k
z^k(x_1,x_2,x_3) \textbf{e}_k$ es un campo vectorial sobre $M$ y que
$\textbf{v}$ es un vector unitario en el plano tangente
$\textbf{v}\in T_PM$. La \textit{derivada covariante} de una
superficie $M: \textbf{X}(u,v)$ es:
\begin{displaymath}
\nabla_\textbf{v} Z = \sum_{i=1}^{3}\textbf{v}[z^i]\textbf{e}_i
\end{displaymath}
donde  $\textbf{v}[z^i]$ es la derivada direccional de la componente
$z^i$ en la dirección de $\textbf{v}$


\noindent\textbf{Casos particulares.}

\begin{displaymath}
\nabla_{X_u}Z=\sum_k\left(\sum_i\frac{\partial z^k}{\partial
x_i}\frac{\partial x_i}{\partial u}\right)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\nabla_{X_v}Z=\sum_k\left(\sum_i\frac{\partial z^k}{\partial
x_i}\frac{\partial x_i}{\partial v}\right)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\nabla_{\textbf{v}}U=\sum_{i=1}^{3}\frac{d}{dt}\left(u^i(\alpha(t))\right)|_{t=0}\textbf{e}_i
\end{displaymath}
donde $\alpha (0) = P$ y $\alpha'(0)=\textbf{v}$. Además
\begin{displaymath}
S_P(\textbf{v})=-\nabla_{\textbf{v}}U
\end{displaymath}
donde $S_P$ es el \emph{operador forma o aplicación de Weingarten}
de $M$ en $P$, la cual es una aplicación lineal de $T_P M$ sobre sí
mismo.

\begin{displaymath}
\nabla_{\textbf{v}}Z = \nabla_{\textbf{v}}^{\mathbb{R}^3} Z -%
\left(\nabla_{\textbf{v}}^{\mathbb{R}^3} Z \cdot U\right)U
\end{displaymath}
donde $\nabla^{\mathbb{R}^3}$ es la derivada covariante en $R^3$ o
simplemente la matriz Jacobiana y $\nabla$ es la proyección de
$\nabla^{\mathbb{R}^3}$ sobre el plano tangente, es decir la
derivada covariante de $M$ sin `mirar' el espacio $\mathbb{R}^3$.

\noindent\textbf{Observación.}

\begin{displaymath}
\nabla_{\alpha '}^{\mathbb{R}^3} \alpha '= \alpha ''
\end{displaymath}
Si $\alpha$ es una curva geodésica, entonces
\begin{displaymath}
\nabla_{\alpha '} \alpha '= 0
\end{displaymath}
Para una parametrización ortogonal ($F=0$) de $M : \textbf{X}(u,v)$
podemos definir una base ortonormal para $T_PM$ así:
\begin{displaymath}
\varepsilon_1=\frac{X_u}{\sqrt{E}}\quad%
\varepsilon_2=\frac{X_v}{\sqrt{G}}
\end{displaymath}

En este caso
\begin{displaymath}
\nabla_{\alpha '}\varepsilon_1=%
\omega_{11}\varepsilon_1+%
\omega_{21}\varepsilon_2+%
s_1U %
\quad
\nabla_{\alpha '}\varepsilon_2=%
\omega_{12}\varepsilon_1+%
\omega_{22}\varepsilon_2+%
s_2U
\end{displaymath}
Se puede demostrar, usando el hecho que $\{\varepsilon_1,
\varepsilon_2\}$ es una base ortonormal, que $\omega_{ii}=0$ y que
$\omega_{ij}=-\omega{ji}$, por lo tanto para la superficie $M$ sólo
hay una componente sustancial $\omega_{21}$, donde
\begin{displaymath}
\nabla_{\alpha'}\varepsilon_1 = \omega_{21}\varepsilon_2
\end{displaymath}

%-------------------------------
\subsection*{Campos vectoriales paralelos y holonomía}

\noindent \textbf{Definición}. Decimos que $V$ es una campo
vectorial que se transporta paralelamente a lo largo de $\alpha$ si
\[
\nabla_{\alpha'} V =0
\]

\noindent \textbf{Teorema 6.3.2}. Sea $M$ una superficie con
derivada covariante $\nabla$ y supongamos que $\alpha: I \to M$ es
una curva sobre $M$. Para cualquier vector tangente a $M$, $V_0$ en
$\alpha(0)$, existe un campo vectorial $V$ que se transporta
paralelamente a lo largo de $\alpha$ con $V_{\alpha(0)}=V_0$

Si tomamos $V$ unitario
\[
V=\cos(\theta)\varepsilon_1 + \sin(\theta)\varepsilon_2
\]
donde $\theta$ es el ángulo entre $V$ y $\varepsilon_1$, entonces la
curvatura geodésica de $\alpha$ es
\[
\kappa_g=\frac{d \theta}{d t}+\omega_{21}
\]

\noindent\textbf{Definición.} La holonomía a lo largo de una curva
$\alpha (t)$, desde $t_0$, hasta $t_1$, de un campo vectorial $V$
unitario sobre $M$ es
\[
\texttt{hol}(\alpha)=-\int_{t_0}^{t_1} \omega_{21}dt
\]
donde $\theta$ es el ángulo entre $V$ y $\varepsilon_1$.

\noindent\textbf{Teorema 6.3.5} Las isometrías preservan la
holonomía.

\noindent\textbf{Teorema} Sea $\alpha(s)$ una curva con rapidez
unitaria sobre una superficie $M : \textbf{X}(u,v) $, con
parametrización ortogonal ($F=0$). Entonces
\begin{displaymath}
\nabla_{\alpha'}\varepsilon_1 \cdot \varepsilon_2 =
\omega_{21}=\kappa_g - \frac{d \theta}{ds}
\end{displaymath}
donde
\begin{displaymath}
\omega_{21}=\frac{-E_v}{2\sqrt{EG}}\frac{du}{ds}+%
\frac{G_u}{2\sqrt{EG}}\frac{dv}{ds}
\end{displaymath}

\noindent\textbf{Teorema 6.6.1 (Teorema de Gauss-Bonnet}. Si $M$ es
una superficie compacta orientable con frontera $\partial M$,
compuesta por un número finito de curvas suaves, entonces
\begin{displaymath}
\int_{\partial M}\kappa_g + \int_M K = 2\pi \chi (M)
\end{displaymath}
donde $\chi (M)$ es la característica de Euler de $M$. La
característica de Euler no depende de la triangulación de $M$,
\[
\chi (M) = V-E+F
\]
donde $V$ es el número total de vértices en la triangulación, $E$ es
el número total de lados en la triangulación y $F$ es el número
total de triángulos en la triangulación.

\end{document}
