\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{15.6cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}



\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE 2410 Geometría Diferencial  1 \\
Teoremas y Fórmulas Importantes}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}


%-------------------------------------------
\section{Curvas}

\begin{enumerate}

\item \textbf{Involuta} de una curva $\alpha$
\[
{\cal{I}}(t)=\alpha (t) - s(t)\frac{\alpha ' (t)}{|\alpha
'(t)|}
\]
donde $s(t)=\int_a^t |\alpha '(u)|du$

\item
\textbf{Evoluta} de una curva $\alpha$
\[
{\cal{E}}(t)=\alpha(t)+\frac{1}{\kappa (t)}N(t)
\]

\item Curva \textbf{podaria} o curva pedal de una curva
$\alpha$ respecto a un punto $p$.
\[
{\cal{P}}(t)= p + [(\alpha (t) - p)\cdot N(t)]N(t)
\]


\item Vector \textbf{tangente}:
\[
T(s) =\beta'(s)
\]
donde $\beta (s)$ es la \textbf{re-parametrización} de
$\alpha (t)$ en términos de la longitud de arco, es decir
despejando $t$ en términos de $s$ de la ecuación
$s(t)=\int_a^t |\alpha '(u)|du$ y reemplazando en $\alpha
(t)$.

\item \textbf{Curvatura} de una curva $\alpha$
\[
\kappa (s) = |T'(s)|
\]
\item Vector \textbf{normal} principal
\[
N(s)=\frac{1}{\kappa}T'(s)
\]
\item Vector \textbf{binormal}:
\[
B = T \times N
\]
\item \textbf{Torsión} de una curva:
\[
\tau = - N \cdot B'
\]

\item Fórmulas de \textbf{Frenet}:
\[
\left(
\begin{array}{c}
T'\\
N'\\
B'\\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \kappa & 0 \\
-\kappa & 0 & \tau \\
0 & -\tau & 0\\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
T\\
N\\
B\\
\end{array}
\right) \quad \Leftrightarrow \left(
\begin{array}{c}
T'\\
N'\\
B'\\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & \kappa \nu & 0 \\
-\kappa \nu & 0 & \tau \nu \\
0 & -\tau \nu & 0\\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
T\\
N\\
B\\
\end{array}
\right)
\]
donde el primer grupo está dado en término de la longitud
de arco $s$ y el segundo en general, donde $\nu = |\alpha
'(t)|$, es decir la rapidez de la partícula. La s
derivadeas se hacen según el parámetro.

\item Otras
fórmulas en términos de un parámetro normal (corriente)
\[
T = \frac{\alpha'(t)}{|\alpha' (t)|}\quad B=\frac{\alpha '
\times \alpha ''}{|\alpha' \times \alpha ''|}\qquad N =
B\times T \quad \kappa =\frac{|\alpha' \times \alpha
''|}{|\alpha'|^3}\qquad \tau=\frac{(\alpha' \times \alpha
'')\cdot \alpha'''}{|\alpha' \times \alpha ''|^2}
\]

\item Vector de \textbf{Darboux} $\omega$.
\[
\begin{array}{l}
T'=\omega \times T \\
N'=\omega \times N \\
B'=\omega \times B \\
\end{array}
\]

\end{enumerate}


%-------------------------------------
\section{Superficies}

\begin{enumerate}


\item \textbf{Vector normal} unitario.
\[
U=\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}
\]
\item \textbf{Operador forma} $S$.
\[
S_p(\textbf{v})=-\nabla_\textbf{v} U \qquad S_p \left(
\begin{array}{c}
X_u \\
X_v\\
\end{array}
\right) = \left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right] \left(
\begin{array}{c}
X_u \\
X_v\\
\end{array}
\right)
\]
\item Coeficientes de la \textbf{Primera Forma
Fundamental} ($[EFG]$)
\[
E=X_u\cdot X_u,\quad F=X_u\cdot X_v,\quad  G=X_v\cdot X_v
\qquad [EFG]= \left[
\begin{array}{cc}
E & F\\
F & G \\
\end{array}
\right]
\]
La \textbf{métrica} de la superficie en $\mathbb{R}$ se
escribe $ds^2=Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2$ \item Coeficientes de la
\textbf{Segunda Forma Fundamental} ($[lmn]$)
\[
l=U \cdot X_{uu},\quad m=U \cdot X_{uv},\quad  n=U \cdot
X_{vv} \qquad [lmn]= \left[
\begin{array}{cc}
l & m\\
m & n \\
\end{array}
\right]
\]
donde $l=S_p(X_u)\cdot X_u = U\cdot X_{uu}$,
$m=S_p(X_u)\cdot X_v = U\cdot X_{uv}$, y $l=S_p(X_v)\cdot
X_v = U\cdot X_{vv}$. Para hallar los valores de $a, b, c,
d$ se usan las anteriores propiedades. \item Relación entre
el operador forma y las formas fundamentales
($[S][EFG]=[lmn]$):
\[
\left[
\begin{array}{cc}
l & m \\
m & n \\
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G \\
\end{array}
\right]
\]

\end{enumerate}


%--------------------------------------
\section{Curvaturas}

\noindent \textbf{Curvaturas}: Curvatura normal
($k(\textbf{u}_p)$), Curvaturas principales ($k_1$ y
$k_2$), Curvatura de Gauss ($K$) y Curvatura media ($H$).
\[
k(\textbf{u}_p)= S(\textbf{u}_p)\cdot \textbf{u}_p;\qquad
K=\det(S)=k_1 k_2; \qquad H=\frac{1}{2}\texttt{tr}
(S)=\frac{1}{2}(k_1 + k_2)
\]
donde $\textbf{u}_p \in T_p M$ es un vector tangente, y
$k_1$ y $k_2$ son los valores propios de $S$. A los
vectores propios de $S$ se les llaman \textit{direcciones
principales}.

\noindent \textbf{Lema (fuerte)}: Sea $\alpha$ una curva
sobre una superficie regular $M\subset \mathbb{R}^3$,
entonces
\newline $\alpha '' \cdot U = S(\alpha ')\cdot  \alpha '$.



\noindent La \textit{curvatura de Gauss} $K$ y la
\textit{curvatura media} $H$ en términos de los
coeficientes de la primera y segunda forma fundamental
están dadas por:

\[
K=\frac{ln-m^2}{EG-F^2}
\qquad
H=\frac{Gl+En-2Fm}{2(EG-F^2)}
\]

\subsection*{Superficies de revolución}

Sea $\displaystyle X(u,v)=\left(g(u),\, h(u) \cos v , \,
h(u) \sin v \right) $ una superficie de revolución,
entonces los coeficientes de la \textbf{primera forma
fundamental}, de la \textbf{segunda forma fundamental}, la
\textbf{curvatura de Gauss} $K$ y la \textbf{curvatura
media} $H$ están dados por:
  \begin{center}
    \begin{tabular}{lll}
        $E=g'^2+h'^2$ & \quad $F=0$ & \quad $G=h^2$  \\
            $\displaystyle l=\frac{g''h'-h''g'}{\sqrt{g'^2+h'^2}}$  & \quad $m=0$ & \quad $\displaystyle n=\frac{hg'}{\sqrt{g'^2+h'^2}}$ \\
    \end{tabular}
  \end{center}
\[
K=\frac{g'(g''h'-h''g')}{h(g'^2 +h'^2)^2}
\]


\[
H=\frac{k_{\mu}+k_{\pi}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{-h''}{(1+h'^2)^{3/2}}+\frac{1}{h(1+h'^2)^{1/2}}\right)=
\frac{1}{2}\left(\frac{-hh''+1+h'^2}{h(1+h'^2)^{3/2}}\right)
\]



\noindent \textbf{Teorema 3.5.2} Una superficie que
consiste solo de puntos umbílicos está contenida o en una
esfera o en un plano.

\noindent \textbf{Teorema 3.5.3} Sobre toda superficie
compacta $M\subseteq \mathbb{R}^3$ hay al menos un punto
$p$ tal que $K(p)>0$

\noindent \textbf{Corolario 3.5.4} No existen superficies
compactas en $\mathbb{R}^3$ con $K\leq 0$. En particular no
es posible tener superficies mínimas inmersas uno a uno
(embedding='embebidas') en $\mathbb{R}^3$ que sean
compactas.


\noindent \textbf{Teorema 3.5.5 (Liebermann)} Si $M$ es una
superficie compacta con curvatura de Gauss constante $K$,
entonces $M$ es una esfera de radio $1/\sqrt{K}$.

\noindent \textbf{Lema 3.5.6 (Hilbert)} Si $k_1$ tiene un
máximo en $p$, $k_2$ tiene un mínimo en $p$ y
$k_1(p)>k_2(p)$, entonces $K(p)\leq 0$

\noindent \textbf{Teorema 3.5.7} Si una superficie de
revolución $M$ es mínima, entonces está contenida o en un
plano o en un catenoide.


%----------------------------------------------
\section{Superficies con $H$ constante}

\noindent \textbf{Proposición 4.2.2} Sea $z=f(x,y)$ un
función de dos variables. Si tomamos la parametrización de
Monge para este gráfico, $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$, la
superficie $M$ es mínima si y solo si
\[
f_{uu}(1+f_v^2)-2f_u f_v f_{uv} +f_{vv}(1+fu^2)=0
\]
Además
\[
H=\frac{f_{uu}(1+f_v^2)-2f_u f_v f_{uv} +f_{vv}(1+fu^2)}{2(1+fu^2+f_v^2)^{3/2}}
\]

\noindent \textbf{Observación} A la ecuación
\[
f_{uu}(1+f_v^2)-2f_u f_v f_{uv} +f_{vv}(1+fu^2)=0
\]
se le llama la ecuación de Euler-Lagrange, y puede ser
obtenida optimizando el funcional de área. Las curvaturas
medias de las superficies mínimas son entonces puntos
críticos de este funcional.

\noindent \textbf{Teorema 4.2.6 (Catalán)} Toda superficie
reglada mínima en $\mathbb{R}^3$ es parte de un plano o de
una helicoide.


\noindent \textbf{Teorema 4.3.4.} Si $M$ es una superficie
que minimiza área, entonces $M$ es una superficie mínima.

\noindent \textbf{Teorema 4.4.4.} Una pompa de jabón debe
siempre tomar la forma de una superficie de curvatura media
constante.

\noindent \textbf{Teorema 4.4.5. (Ros)} Sea $M$ una
superficie compacta embebida en $\mathbb R^3$, la cual
acota un dominio $D$ que tiene volumen $Vol$. Si $H>0$,
entonces
\[
\int_M \frac{1}{|H|} dA\geq 3 Vol.
\]
La igualdad se satisface únicamente para la esfera
estándar.

\noindent \textbf{Teorema 4.4.6. (Alexandrov)} Si $M$ es
una superficie embebida en $\mathbb R^3$ de curvatura media
constante entonces $M$ es la esfera estándar $S^2$.

\noindent \textbf{Definición 4.5.1.} Una función real
$\phi(x,y)$ es armónica si todas las segundas derivadas son
continuas en todos los puntos del dominio y además
satisfacen la ecuación de Laplace $\nabla \phi =
\phi_{xx}+\phi_{yy}=0$

\noindent \textbf{Teorema 4.5.3.} Si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
es una función de variable compleja analítica\footnote{ Una
función $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es \textit{analítica u
holomorfa}, es decir que $f'(z)$ exista en cada punto de
una región $D$ del plano complejo $\mathbb C$ si y solo si
todas sus derivadas parciales de las funciones componentes
existen $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial
u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial v}{\partial y}$ y además satisfacen las
ecuaciones de Cauchy-Riemann $\frac{\partial u}{\partial
x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial
u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$. Una
función $f$ se dice que es \textit{meromorfa} si todas sus
singularidades son polos. Toda función racional
$g(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ con $P(z)$ y $Q(z)$ polinomios es
una función meromorfa. } , entonces $u$ y $v$ son
armónicas.


\noindent \textbf{Teorema 4.7.1.} Coordenadas isotérmicas
para una superficie $M\subseteq\mathbb R^3$ existen si y
solo si $M$ es mínima.

\noindent \textbf{Teorema 4.8.2.} Sea
$X(z,\bar{z})=(x^1(z,\bar{z}), x^2(z,\bar{z}),
x^3(z,\bar{z}))$ una parametrización isotérmica de $M$ y
sea $\phi=\frac{\partial X}{\partial z}$. La superficie $M$
es mínima si y solo si $\phi^i$ son holomorfas.

\noindent \textbf{Teorema 4.8.6. (Representación I de
Weierstrass-Enneper).} Si $f$ es holomorfa sobre un dominio
$D$, $g$ es meromorfa sobre $D$ y $fg^2$ es holomorfa sobre
$D$, entonces una superficie mínima está definida por
$X(z,\bar{z})=(x^1(z,\bar{z}), x^2(z,\bar{z}),
x^3(z,\bar{z}))$, donde

\[
x^1(z,\bar{z})=Re\int f(1-g^2) dz  \qquad
x^2(z,\bar{z})=Re\int f(1+g^2) dz \qquad
x^3(z,\bar{z})=Re2\int fg dz
\]

\noindent \textbf{Teorema 4.8.7. (Representación II de
Weierstrass-Enneper).} Para cualquier función holomorfa
$F(\tau)$, una superficie mínima está definida por
$X(z,\bar{z})=(x^1(z,\bar{z}), x^2(z,\bar{z}),
x^3(z,\bar{z}))$, donde

\[
x^1(z,\bar{z})=Re\int F(\tau)(1-\tau^2) dz  \qquad
x^2(z,\bar{z})=Re\int F(\tau)(1+\tau^2) dz \qquad
x^3(z,\bar{z})=Re2\int F(\tau) \tau dz
\]


%----------------------------------------
\section{Geodésicas}
\noindent \textbf{Definición}. La \textit{curvatura
geodésica} de una curva $\alpha (t)$ sobre una superficie
$M\subseteq \mathbb R^3$ está definida por $\displaystyle
k_g= \alpha'' \cdot U\times T$, donde $T$ es el vector
tangente unitario a $\alpha$ y $U$ el vector normal
unitario a $M$. Una curva $\alpha$ en $M$ es geodésica si
$\alpha''_{tan}=0$, donde $\alpha_{tan}=k_g U\times T$ es
la componente tangencial de la aceleración.

\noindent \textbf{Teorema 5.1.5}. La curvatura geodésica
depende solo de la métrica. Si $F=0$, entonces
\[
k_g=\sqrt{EG}\left(-\frac{E_v}{2G}u'^3
+\left(\frac{G_u}{G}-\frac{E_u}{2E}\right)u'^2v'
+\left(\frac{G_v}{2G}-\frac{E_v}{E}\right)u'v'^2
+\frac{G_u}{2E}v'^3+u'v''-u''v' \right)
\]


\end{document}
