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\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Cuarto Parcial
--- (19/11/2004) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2  &   Total \\
        \hline\hline
        Valor & 30 & 20 &   50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &    \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

{\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}}

\noindent \texttt{En cualquiera de los puntos todas las superficies se consideran regulares y en $\mathbb{R}^3$}. 

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Sea $\displaystyle M=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 |\, y > 0\right\}$ con parametrización $\displaystyle X(u, v)=(u, v) $ y con métrica conforme 
\[
w_1 \circ w_2 = \frac{w_1\cdot w_2}{v}
\]
donde $w_1, w_2\in T_p(M)$. Nota este no es el plano de Poincaré (modelo del plano hiperbólico). 
\begin{enumerate}
\item% a
Calcule la curvatura de Gauss $K$ de $M$.
\item% b
Encuentre las geodésicas. Dibuje unas cuantas.
\item% c
Es válido el postulado de las paralelas de Euclides? Explique.
\item% d
Es $M$ isométric al plano de Poincaré $P$? Explique.
\item% e
Calcule la holonomía lo largo de la línea horizontal (euclidiana) desde el punto $(0,1)$ hasta el punto $(a,1)$. 
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Considere el catenoide que es el resultado de la rotación de la catenaria $y=\cosh z$ sobre el eje $z$. El circulo central que se obtiene cuando rota el punto $(0,1,0)$ es geodésica? Porqué? Es la única geodésica cerrada? Explique.




\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 50 minutos

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
