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\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}



\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE 2410 Geometría Diferencial  1 \\
Teoremas y Fórmulas Importantes  \\
(2004-20) }
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

\noindent\textsc{Teorema 4.3.4.} Si $M$ es una superficie que minimiza área, entonces $M$ es una superficie mínima.

\noindent\textsc{Teorema 4.4.4.} Una pompa de jabón debe siempre tomar la forma de una superficie de curvatura media constante.

\noindent\textsc{Teorema 4.4.5. (Ros)} Sea $M$ una superficie compacta embebida en $\mathbb R^3$, la cual acota un dominio $D$ que tiene volumen $Vol$. Si $H>0$, entonces 
\[
\int_M \frac{1}{H} dA\geq 3 Vol.
\]

\noindent\textsc{Teorema 4.4.6. (Alexandrov)} Si $M$ es una superficie embebida en $\mathbb R^3$ de curvatura media constante entonces $M$ es la esfera estándar $S^2$.

\noindent\textsc{Definición 4.5.1.} Una función real $\phi(x,y)$ es armónica si todas las segundas derivadas son continuas en todos los puntos del dominio y además satisfacen la ecuación de Laplace $\nabla \phi = \phi_{xx}+\phi_{yy}=0$

\noindent\textsc{Teorema 4.5.3.} Si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es una función de variable compleja analítica, entonces $u$ y $v$ son armónicas.


\noindent\textsc{Teorema 4.7.1.} Coordenadas istérmicas para una superficie $M\subseteq\mathbb R^3$ existen si y solo si $M$ es mínima.

\noindent\textsc{Teorema 4.8.2.} Sea $X(z,\bar{z})=(x^1(z,\bar{z}), x^2(z,\bar{z}), x^3(z,\bar{z}))$ una parametrización isotérmica de $M$ y sea $\phi=\frac{\partial X}{\partial z}$. La superficie $M$ es mínima si y solo si $\phi^i$ son holomorfas.

\noindent\textsc{Teorema 4.8.6. (Representación I de Weierstrass-Enneper).} Si $f$ es holomofa sobre un dominio $D$, $g$ es meromorfa sobre $D$ y $fg^2$ es holomorfa sobre $D$, entonces una superfice mínima está definida por $X(z,\bar{z})=(x^1(z,\bar{z}), x^2(z,\bar{z}), x^3(z,\bar{z}))$, donde 

\[
x^1(z,\bar{z})=Re\int f(1-g^2) dz  \qquad
x^2(z,\bar{z})=Re\int f(1+g^2) dz \qquad
x^3(z,\bar{z})=Re2\int fg dz 
\]

\noindent\textsc{Teorema 4.8.7. (Representación II de Weierstrass-Enneper).} Para cualquier función holomorfa $F(\tau)$, una superfice mínima está definida por $X(z,\bar{z})=(x^1(z,\bar{z}), x^2(z,\bar{z}), x^3(z,\bar{z}))$, donde 

\[
x^1(z,\bar{z})=Re\int F(\tau)(1-\tau^2) dz  \qquad
x^2(z,\bar{z})=Re\int F(\tau)(1+\tau^2) dz \qquad
x^3(z,\bar{z})=Re2\int F(\tau) \tau dz 
\]

\textbf{Nota.} Una función $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ es \textit{analítica u holomorfa}, es decir que $f'(z)$ exista en cada punto de una región $D$ del plano complejo $\mathbb C$ si y solo si todas sus derivadas parciales de las funciones componentes existen $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$ y además satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$. Una función $f$ se dice que es \textit{meromorfa} si todas sus singularidades son polos. Toda función racional $g(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$
con $P(z)$ y $Q(z)$ polinomios es una función meromorfa.
\end{document}
