\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\setlength{\textwidth}{16cm} \thispagestyle{empty}
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Tercer Parcial
--- (15/11/2005) }
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

{\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}}



\begin{tabular}{|c|l|c|c|}
  \hline
  \# & Ciudad & Latitud & Longitud  \\
  \hline\hline
  1 & Cali          & 3° 25' N & 76° 30' W \\
  \hline
  2 & Barcelona     & 41º 24' N & 2º 9' E  \\
  \hline
  3 & Baranquilla   & 10° 59' N &74° 48' W \\
  \hline
  4 & Bogotá & 4º 36' N & 74º 5' W  \\
  \hline
  5 & Estocolmo & 59º  21' N & 18º 4' E  \\
  \hline
  6 & St.Petersburgo & 59° 56' N  & 30° 16' E \\
  \hline
  7 & Madrid    & 40° 25' N  & 3° 41' W \\
  \hline
  8 & Medellín  & 6° 13' N   & 75° 36' W \\
  \hline
  9 & Moscow    & 55° 46' N  & 37° 40' E \\
  \hline
  10 & NYC-Central Park  &  40° 47' N  & 73° 58' W \\
  \hline
\end{tabular}

El radio de la tierra es aproximadamente $6.371$Km.

\begin{enumerate}

%---------------------------------------------- 1
\item Encuentre el área en $Km^2$ de un cuadrado de un grado de latitud y un
grado de longitud centrado en las ciudades 1,2 y 3. Compare los
resultados.

%---------------------------------------------- 2
\item Encuentre el área en $Km^2$ de un cuadrado de un grado de latitud y un
grado de longitud centrado en las ciudades 4,5 y 6. Compare los
resultados.

%---------------------------------------------- 3
\item Encuentre el área en $Km^2$ de un cuadrado de un grado de latitud y un
grado de longitud centrado en las ciudades 7,8 y 9. Compare los
resultados.

%---------------------------------------------- 4
\item Encuentre el área en $Km^2$ de un cuadrado de un grado de latitud y un
grado de longitud centrado en las ciudades 1,5 y 10. Compare los
resultados.

%---------------------------------------------- 5
\item Pruebe que el área de la bóveda de Viviani, que es la región
de la esfera $x^2+y^2+z^2=4a^2$ limitada por el cilindro
$(x-a)^2+y^2\leq a^2$ y $z\geq 0$ es $4a^2(\pi -2)$

%---------------------------------------------- 6
\item Dar la expresión de la curvatura de Gauss para una superficie
regular en un sistema de coordenadas ortogonales.

%---------------------------------------------- 7
\item Si la métrica de una superficie está dada por
$ds^2=\lambda(u,v)(du^2+dv^2)$ pruebe que
\begin{equation}
K=-\frac{1}{2\lambda}\Delta \log \lambda
\end{equation}
donde $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial
u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}$ es el Laplaciano de
$\mathbb{R}^2$ y $\lambda$ es una función positiva. Calcule la
curvatura de Gauss de una superficie en la cual
$E=G=1/(u^2+v^2+c^2)^2$ y $F=0$

%---------------------------------------------- 8
\item Si la métrica de una superficie está dada por
$ds^2=\lambda(u,v)(du^2+dv^2)$ pruebe que
\begin{equation}
K=-\frac{1}{2\lambda}\Delta \log \lambda
\end{equation}
donde $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial
u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}$ es el Laplaciano de
$\mathbb{R}^2$ y $\lambda$ es una función positiva. Calcule la
curvatura de Gauss del plano hiperbólico según e modelo de Poincaré
$\mathbb{H}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| y > 0 \}$ con métrica
$ds^2=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)$

%---------------------------------------------- 9
\item Considere el plano hiperbólico $M$ según e modelo de Poincaré
$\mathbb{H}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| y > 0 \}$ con métrica
$ds^2=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)$. Sean $X=x\frac{\partial}{\partial
x}$ y $Y=x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}$
dos campos vectoriales en el plano tangente $T_pM$, y la curva sobre
$M$ $\gamma (t)=(t, \alpha t)$ para $t>0$.
\newline
Calcule
\begin{enumerate}
\item $\nabla_X Y$
\item El transporte paralelo de $X$ a lo largo de $\gamma$
\item La curvatura geodésica de $\gamma$
\item Las ecuaciones de las geodésicas que pasan por $P=\gamma (1)$ en dirección de $X$.
\item La holonomía de $X$ desde $P=\gamma (1)$ hasta $Q=\gamma (2)$
\end{enumerate}

%---------------------------------------------- 10
\item Considere el plano hiperbólico $M$ según e modelo de Poincaré
$\mathbb{H}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| y > 0 \}$ con métrica $ds^2=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)$. Sean
$X=x\frac{\partial}{\partial x}$ y $Y=x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}$
dos campos vectoriales en el plano tangente $T_pM$, y la curva sobre $M$ $\gamma (t)=(t, t)$ para
$t>0$.
\newline
Calcule
\begin{enumerate}
\item $\nabla_Y X$
\item El transporte paralelo de $Y$ a lo largo de $\gamma$
\item La curvatura geodésica de $\gamma$
\item Las ecuaciones de las geodésicas que pasan por $P=\gamma (1)$ en dirección de $Y$.
\item La holonomía de $Y$ desde $P=\gamma (1)$ hasta $Q=\gamma (2)$
\end{enumerate}



\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\end{document}
