\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Tercer Parcial
--- (25/10/2004) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 & 4 &   Total \\
        \hline\hline
        Valor & 8 & 12 & 15 & 15 &  50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &  &   \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

{\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}}

\noindent \texttt{En cualquiera de los puntos todas las superficies se consideran regulares y en $\mathbb{R}^3$}. 

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Llene los espacios en blanco o diga si es Falso (F) o Verdadero (V) según el caso. \textbf{No es necesario justificar}. Conteste este punto  aquí mismo.
\begin{enumerate}
\item%
Si $M$ es una superficie mínima con parametrización isotérmica $X$, entonces $X$ es una función ${\vrule width 4cm height 0.4pt}$
\item%
Dada una curva cerrada $C$ en el espacio tridimensional, encontrar la superficie mínima que tenga a $C$ como borde, se conoce como el problema de ${\vrule width 4cm height 0.4pt}$
\item%
Si $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$ es la parametrización de una superficie mínima entonces $f$ es una función armónica. (F o V) ${\vrule width 4cm height 0.4pt}$
\item%
La función $\phi=x^2-y^2$ es una función armónica. (F o V) ${\vrule width 4cm height 0.4pt}$

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Sea $M$ una superficie mínima parametrizada con coordenadas isotérmicas $X$. Demostrar:
\begin{itemize}
\item%
que $m=0$
\item%
y además $l=-n$
\end{itemize}
donde los coeficientes de la segunda forma fundamental son
$
\left[
\begin{array}{cc}
l & m\\
m & n \\
\end{array}
\right]
$

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3

Dadas $(f,g)=(-\frac{i}{2},\frac{1}{z})$ funciones en variable compleja.
\begin{itemize}
\item%
Demuestre que $f$ es holomorfa, que $g$ es meromorfa, y que $fg^2$ es holomorfa en algún dominio $D$
\item%
Halle la solución a las ecuaciones integrales de la representación I de Weierestrass-Enneper, para hallar la parametrización de la superficie. Es ésta una superficie conocida? 
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4
Considere el hiperboloide $M$ de un solo manto $\displaystyle X(u,v)=\left(\cosh v \cos u,\cosh v \sin u, \sinh v\right)$. 
\newline
Son los meridianos de esta superficie curvas geodésicas?. Justifique.

\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 50 minutos

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
