\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{16cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Solución del Tercer Parcial
--- (25/10/2004) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 & 4 &   Total \\
        \hline\hline
        Valor & 10 & 10 & 15 & 15 &  50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &  &   \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

{\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}}

\noindent \texttt{En cualquiera de los puntos todas las superficies se consideran regulares y en $\mathbb{R}^3$}. 

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Llene los espacios en blanco o diga si es Falso (F) o Verdadero (V) según el caso. \textbf{No es necesario justificar}. Conteste este punto  aquí mismo.
\begin{enumerate}
\item%
Si $M$ es una superficie mínima con parametrización isotérmica $X$, entonces $X$ es una función ${\vrule width 1cm height 0.4pt}$ \textsc{ARMÓNICA}. $\Delta X = (2EH)U$ \textsl{y como} $M$ \textsl{es una superficie mínima, entonces} $H=0\Longrightarrow \Delta X=0$. \textsl{Aquí se entiende que cada componente es armónica.}
\item%
Dada una curva cerrada $C$ en el espacio tridimensional, encontrar la superficie mínima que tenga a $C$ como borde, se conoce como el problema de ${\vrule width 1cm height 0.4pt}$ \textsc{PLATEAU}. \textsl{Problema planteado a principios del siglo IXX y resuelto un poco más de 100 años después.}
\item%
Si $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$ es una parametrización de una superficie mínima entonces $f$ es una función armónica. (F o V) ${\vrule width 1cm height 0.4pt}$ \textsc{FALSO}. \textsl{La garantía de que esto suceda es únicamente cuando la parametrización es isotérmica.}
\item%
La función $\phi=x^2-y^2$ es una función armónica. (F o V) ${\vrule width 1cm height 0.4pt}$ \textsc{VERDADERO}. \textsl{Satisface la ecuación de Laplace.}
\item%
La parametrización $\displaystyle X(u,v)=\left(\cosh v \cos u,\cosh v \sin u, \sinh v\right)$ es isotérmica. (F o V) ${\vrule width 1cm height 0.4pt}$ \textsc{FALSO}. $E=\cosh^2 v $ y $G= \cosh^2 v \sinh^2 v $, por lo tanto $E \ne G$

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Sea $M$ una superficie mínima parametrizada con coordenadas isotérmicas $X$. Demostrar que $l=-n$,
donde los coeficientes de la segunda forma fundamental en forma matricial son:
$
\left[
\begin{array}{cc}
l & m\\
m & n \\
\end{array}
\right]
$
\newline
${\vrule width 5cm height 0.4pt}$
\newline
\textsc{Solución}
\newline
Dado que la curvatura media $H=0$, y los coeficientes de la métrica son $E=G$ y $F=0$, entonces reemplazando,
\[
H=\frac{Gl+En-2Fm}{EG-F^2}\Longrightarrow
H=\frac{El+En}{E^2}=0 \Longrightarrow l=-n
\] 

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3

Sea $\displaystyle(f,g)=(1, z)$. Demuestre que la Representación I de Weierestrass-Enneper le da la parametrización de la superficie de Enneper.
\newline
${\vrule width 5cm height 0.4pt}$
\newline
\textsc{Solución}
\newline
$
\displaystyle
x^1(u,v)= Re \int(1-z^2)dz = Re \left(z-\frac{z^3}{3}\right)=u-\frac{u^3}{3}+uv^2 \\
x^2(u,v)= Re \int i(1+z^2)dz = Re \, i\left(z+\frac{z^3}{3}\right)=-v+\frac{v^3}{3}+u^2v \\ 
x^3(u,v)= Re \int 2 z dz = Re \, z^2=u^2-v^2
$

Lo cual muestra que es la parametrización de una superficie de Enneper. Si se desea obtener aquella parametrización vista en clase, puede usar la transformación $u=u$ y $v=-v$, la cual es una reflexión sobre el eje $u$ del plano $uv$ sobre si mismo. 


%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4
Considere el hiperboloide $M$ de un solo manto $\displaystyle X(u,v)=\left(\cosh v \cos u,\cosh v \sin u, \sinh v\right)$. Los meridianos y los paralelos de esta superficie son geodésicas?. Justifique.
\newline
${\vrule width 5cm height 0.4pt}$
\newline
\textsc{Solución}
\newline
\begin{enumerate}
\item%
Los \textbf{meridianos} son cuando $v=t$ (variable) y $u=u_0$ (constante). En tal caso $\alpha ' (t) = X_u$, es decir $\alpha $ es la curva que tiene la dirección del vector tangente $X_u$. En este caso, tenemos:
$
\displaystyle 
X_u=(-\cosh v\sin u,\, \cosh v \cos u,\, 0)\\
X_v=(\sinh v\cos u,\, \sinh v \sin u,\, \cosh v)\\
E=X_u \cdot X_u = \cosh^2v \\
G=X_v \cdot X_v = \cosh^2v + \sinh^2 v\\
F=X_u \cdot X_v = 0
$

por lo tanto

$
\displaystyle
E_u=0, \qquad G_u =0 \qquad u'=\frac{du}{dt}=0 \qquad v'=\frac{dv}{dt}=1
$

Reemplazando en la fórmula de la curvatura geodésica, tenemos

$
\displaystyle
k_g=\sqrt{EG}\left(\frac{G_u}{2E}\right)=0
$

Es decir los meridianos si son geodésicas, pues su curvatura geodésica $k_g=0$.
\item%
Los \textbf{paralelos} no son geodésicas en general, pues usando el mismo razonamiento para cuando $u=t$ (variable) y $v=v_0$ (constante), dado que $u'=\frac{du}{dt}=1$ y $v'=\frac{dv}{dt}=0$ tenemos que:

$
\displaystyle
k_g=\sqrt{EG}\left(\frac{E_v}{2G}\right)
$
lo cual como muestra el resultado del cálculo de $E$ depende de $v$ en general,  y por tanto no se garantiza la nulidad de la curvatura geodésica en general. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 50 minutos

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
