\documentclass[11pt,leqno]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}  \setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{15.6cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE 2410 Geometría Diferencial 1 \\
Taller de Preparación Segundo Parcial}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{Temas}
\begin{enumerate}
\item%
Superficies de revolución (3.3)
\item%
Algunos efectos de la Curvatura (3.5)
\item%
Superficies de Delaunay (3.6)
\item%
Primeras nociones de Superficies mínimas (4.1 y 4.2)
\item%
Minimización de área (4.3)
\item%
Superficies con Curvatura Media $H$ Constante (4.4)
\item%
Funciones Armónicas (4.5)
\item%
Variable Compleja y su relación con superficies con $H$
constante. (4.6)
\item%
Coordenadas isotermales (4.7)
\item%
Representaciones I y II de Weierstrass-Enneper
\end{enumerate}

\textbf{Nota:} \textsl{El tema: Una fórmula para la curvatura de Gauss (3.4) no se evaluará pero sí más adelante. Los Símbolos de Christoffel los retomaremos al final del curso.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{Pautas}
Para este segundo parcial usted debe:
\begin{enumerate}
\item%
Poder calcular a mano todas las curvaturas (Media $H$, de Gauss $K$,
las principales $k_1$, $k_2$ y la curvatura normal $k_{\textbf{v}}$)
para cualquier superficie y en especial para superficies de
revolución.
\item%
Interpretar cada una de las curvaturas.
\item%
Conocer y saber el significado de puntos umbílicos. Poder encontrarlos en una superficie dada.
\item%
Poder calcular explícitamente curvaturas normales, en cualquier
punto de una superficie y en cualquier dirección. Incluso si los
puntos son umbílicos. Su resultado qué es un número o un vector? Qué
significa?
\item%
Poder interpretar y calcular las derivadas covariantes. Su resultado qué es?, un número o un vector? Qué significa?
\item%
Conocer y saber aplicar los teoremas 3.5.3, 3.5.4, 3.5.5 (Liebmann), 3.5.6 (Hilbert), 3.5.7
\item%
Conocer cuál es la ecuación diferencial que debe satisfacer
una superficie de revolución $X(u,v)=(u,h(u)\cos v, h(u)
\sin v)$ para que tenga curvatura de Gauss $K$ constante?.
Conocer al menos una solución y poder comprobarla.
\item%
Conocer cuál es la ecuación diferencial que debe satisfacer
una superficie de revolución $X(u,v)=(u,h(u)\cos v, h(u)
\sin v)$ para que tenga curvatura media $H$ constante?.
Conocer al menos una solución y poder comprobarla.
\item%
Conocer la ecuación diferencial que caracteriza a las superficies mínimas cuando éstas son de la forma $z=f(x,y)$ y además se usa la parametrización de Monge. Conocer al menos una solución y poder comprobarla.
\item%
Conocer y poder aplicar los teoremas de Ros, de Alexandrov
\item%
Poder decidir cuando una función en variable compleja es
analítica (holomorfa) y meromorfa. Cuando una función es
armónica.
\item%
Conocer cuál es la relación de superficies mínimas en
lenguaje de variable compleja.
\item%
No confundir superficies mínimas con superficies con
curvatura media constante.
\item%
No confundir pompas de jabón con películas de jabón. Cuáles
son los resultados en geometría diferencial acerca de cada
una de éstas.
\item%
Conocer y poder decir cuando una parametrización es
isotermal. Para cuáles superficies existen siempre una
parametrización isotermal. De qué sirve parametrizar una
superficie en este tipo de coordenadas.
\item%
Conocer y poder usarlas las representaciones de
Weierestrass-Enneper de primer tipo (I) o de segundo (II).
Para qué tipo de superficies existen siempre. Para qué
sirven este tipo de representaciones?
\end{enumerate}

\section*{Problemas}


Para los cuatro primeros problemas usted debe usar los
resúmenes, en el cual encuentra las ecuaciones de  una
\textbf{catenoide} y una \textbf{helicoide}.
\begin{enumerate}
\item%
Compruebe que las fórmulas dadas son correctas. Calcule sus curvaturas principales.
\item%
Existen puntos umbílicos en cada una de estas superficies?. Encuentre uno, en coordenadas.
\item%
Escoja un punto sobre la superficie y una dirección en el plano
tangente en esta superficie que no sea una de las principales.
Calcule la curvatura normal en este punto en esa dirección. Si el
punto escogido es un punto umbílico cómo es la curvatura normal en
esa dirección y en las direcciones principales?
\item%
En las superficies dadas, catenoide y helicoide, existen puntos con curvatura gaussiana $K(p)>0$?.
Por qué si o porqué no?. Qué tiene que ver el teorema 3.5.3 con esta pregunta?
\item%
Existen superficies no compactas con curvatura gaussiana constante $K>0$?.
Dé un ejemplo concreto en caso de existir. En caso contrario argumente su respuesta.
\item%
Podrá existir una superficie compacta con curvatura gaussiana constante $K<0$?.
Dé un ejemplo concreto en caso de existir. En caso contrario argumente su respuesta.
\item%
Demuestre que una superficie de revolución si es minimal entonces está contenida en un plano o en un catenoide.
\item%
Mostrar que $\Delta
(2\ln(1+u^2+v^2))=\frac{8}{(1+u^2+v^2)^2}$
\item%
Demostrar que para una superficie mínima con representación de de
Weierstrass-Enneper II
\begin{equation}\label{1}
K=\frac{-4}{|F|^2(1+u^2+v^2)^4}
\end{equation}
\item%
En el problema anterior si identifica $F=\frac{f}{g'}$
demuestre que obtiene
\begin{equation}\label{2}
K=\frac{-4|g'|^2}{|f|^2(1+|g|^2)^4}
\end{equation}
en términos de la representación de Weierestrass-Enneper I.
\item%
Si compara las fórmulas obtenidas (\ref{1}) con (\ref{2})
en la primera $K$ nunca es cero, mientras que en la segunda
si puede llegar a ser cero. Explique la discrepancia
aparente de estos dos resultados. \textbf{Ayuda:}
\emph{Cuál es la hipótesis sobre $g$ permitida para
transformar de la representación I a la II?}
\item%
Resolver ciertas integrales complejas determinadas por las
representaciones de Weierstrass-Enneper para hallar la
parametrización de ciertas superficies mínimas, por ejemplo
para el catenoide, el helicoide, la superficie de Catalán,
la superficie de Henneberg
\item%
Demuestre que los puntos umbílicos de una superficie mínima
con representación $(f,g)$ corresponden a ceros de $g'$.
Por lo tanto los puntos umbílicos de una superficie mínima
son planos (\emph{flat}).
\end{enumerate}


\end{document}
