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\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm} \setlength{\evensidemargin}{0.0cm}
\setlength{\textwidth}{16cm} \thispagestyle{empty}
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Segundo Parcial
--- (18/10/2005) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &   Total \\
        \hline\hline
        Valor & 15 & 10 & 5 & 10 & 10 & 50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &  &  &  \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

\noindent \texttt{En cualquiera de los puntos todas las superficies se consideran regulares y en $\mathbb{R}^3$}.

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Conteste Falso (F) o Verdadero (V) según el caso.
\textbf{Justificación corta}.
\begin{enumerate}
\item%
Si $M$ es una superficie regular tal que $H$ es constante, entonces
$K$ es constante.
\item%
Si una superficie regular  compacta $M$ embebida en $\mathbb{R}^3$
tiene $K$ constante, entonces $H$ es constante.
\item%
Una superficie mínima no plana parametrizada en coordenadas
isotermales $l=n$.
\item%
Si $M$ es una superficie regular con una parametrización regular\\
$X(u,v)=(x^1(u,v),x^2(u,v),x^3(u,v))$ donde $x^1$, $x^2$ y $x^3$ son
armónicas, entonces $M$ es una superficie mínima.
\item%
Si una superficie de revolución $X(u,v)$ está generada por una curva
con rapidez unitaria, $\alpha (u) = (g(u), h(u), 0)$, entonces
$K=-\frac{h''}{h}$
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item%
Sea $M$ una superficie regular y $X:D\mapsto M$ una parametrización
regular. Suponga que para todo $(u,v)\in D$ se tiene que $E=1$,
$F=0$ y $l=0$.

Probar que la curva $\alpha (t) = X(t,v_0)$, (donde $(t,v_0)\in D$)
es un segmento de recta.
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3
Sea $M$ una superficie regular conexa. Suponga que para cada punto
$p$ existe un $\lambda_p \in \mathbb{R}$ tal que para toda curva
regular $\alpha : I \longrightarrow M$ con $\alpha (0)=p$ la
curvatura normal de $\alpha$, $k_n(0)$, satisface
$k_n(0)=\lambda_p$, en otras palabras, para todo vector unitario
$\textbf{v}\in T_p(M)$ se tiene que $k(\textbf{v})=\lambda_p$, donde
$\textbf{v}=\alpha '(0)$, y  $\alpha$ parametrizada con rapidez
unitaria. Probar que $M$ es parte de un plano o de una esfera.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4
(Casa) Sea $M$ la pseudoesfera:
\[
X(u,v)=\left(\frac{1}{\cosh v} \cos u, \frac{1}{\cosh v}\sin u, v -
\tanh v \right)
\]
En esta parametrización:
\begin{enumerate}
\item Calcular los coeficientes $E$, $F$ y $G$ de la primera forma
fundamental.
\item Calcular los coeficientes $l$, $m$ y $n$ de la segunda forma
fundamental.
\item Calcular la curvatura de Gauss $K$.
\item Calcular los coeficientes del operador forma $S$.
\item Calcular la curvatura media $H$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 5 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 5
(Casa) Sea $F(\tau) = 1$, lo cual es equivalente a tomar
$(f,g)=(1,z)$. Mostrar que la representación de Weierstrass-Enneper
genera la superficie de Enneper.

\end{enumerate}

\textbf{Observación.} \emph{Los dos últimos puntos son para resolver
en casa. Por favor no use Maple.}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 50 minutos

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
