\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{16cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Segundo Parcial
--- (24/09/2004) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 & 4 &   Total \\
        \hline\hline
        Valor & 10 & 15 & 15 & 10 &  50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &  &   \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

\noindent \texttt{En cualquiera de los puntos todas las superficies se consideran regulares y en $\mathbb{R}^3$}. 

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Llene los espacios en blanco o diga si es Falso (F) o Verdadero (V) según el caso. \textbf{No es necesario justificar}. Conteste este punto  aquí mismo.
\begin{enumerate}
\item%
Las únicas superficies mínimas de revolución son:
\item%
Las únicas superficies mínimas regladas son:
\item%
Existen  más de tres superficies mínimas.
\item%
La esfera $S^2$ es una superficie mínima.
\item%
Existen superficies mínimas con curvatura de Gauss constante $K>0$.
\item%
La catenoide es una superficie de Delaunay.
\item%
Existen superficies compactas con curvatura de Gauss constante $K<0$.
\item%
La superficie de revolución $\displaystyle{X(u,v)=(u, \, u^2 \cos v, \, u^2 \sin v)}$ tiene curvatura de Gauss $K$ constante.
\item%
La superficie de revolución $\displaystyle{X(u,v)=(u, \, u^2 \cos v, \, u^2 \sin v)}$ tiene curvatura media $H$ constante.
\item%
La superficie $\displaystyle z=f(x,y)=xy$ es una superficie mínima.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Demuestre que una superficie de revolución 'llana' (flat), $K=0$, es parte de un plano, de un cono o de un cilindro.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3

Considere la superficie de revolución:
$\displaystyle
X(u,v)=\left( f(v)\cos u ,\, f(v) \sin u ,\, g(v)\right)
$
\begin{enumerate}
\item%
Demuestre que las curvas coordenadas (curvas de curvatura, paralelos $\pi$ y meridianos $\mu$) se cortan ortogonalmente. 
\item%
Calcule $E$, $F$ y $G$ en términos de $f$ y  $g$.
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4

Una superficie tiene en unas coordenadas $(u,v)$
  \begin{center}
    \begin{tabular}{lll}
      	$E=p \, \sin^2 u +\cos^2 u$ & \quad $F=0$ & \quad $G=p\, \cos^2 u$  \\
     		$\displaystyle l=\frac{1}{t}$  & \quad $m=0$ & \quad $\displaystyle n=\frac{\cos^2 u}{t}$ \\
    \end{tabular}
  \end{center}
donde $t$ es una función que no se anula. Determine el valor del parámetro $p$ para que la superficie sea un trozo de una esfera o un plano.





\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 50 minutos

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
