\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{16cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Solución Segundo Parcial
--- (24/09/2004) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 & 4 &   Total \\
        \hline\hline
        Valor & 10 & 15 & 15 & 10 &  50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &  &   \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

\noindent \texttt{En cualquiera de los puntos todas las superficies se consideran regulares y en $\mathbb{R}^3$}. 

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Llene los espacios en blanco o diga si es Falso (F) o Verdadero (V) según el caso. \textbf{No es necesario justificar}. Conteste este punto  aquí mismo.
\begin{enumerate}
\item%
Las únicas superficies mínimas de revolución son:
\item%
Las únicas superficies mínimas regladas son:
\item%
Existen  más de tres superficies mínimas.
\item%
La esfera $S^2$ es una superficie mínima.
\item%
Existen superficies mínimas con curvatura de Gauss constante $K>0$.
\item%
La catenoide es una superficie de Delaunay.
\item%
Existen superficies compactas con curvatura de Gauss constante $K<0$.
\item%
La superficie de revolución $\displaystyle{X(u,v)=(u, \, u^2 \cos v, \, u^2 \sin v)}$ tiene curvatura de Gauss $K$ constante.
\item%
La superficie de revolución $\displaystyle{X(u,v)=(u, \, u^2 \cos v, \, u^2 \sin v)}$ tiene curvatura media $H$ constante.
\item%
La superficie $\displaystyle z=f(x,y)=xy$ es una superficie mínima.

\end{enumerate}


\noindent{\vrule width 5cm height 0.4pt}

\textsc{Solución.}
\begin{enumerate}
\item%
Planos, catenoides o pedazos de éstos (Teo. 3.5.7)
\item%
Planos, helicoides o pedazos de éstos (Teo. de Catalán)
\item%
Verdadero. Catenoide, Plano, Helicoide, de Enneper, de Scherk
\item%
Falso. Para que sea mínima $H=0 \Rightarrow k_1=k_2\Rightarrow K\leq 0$ y $K(S^2)>0$.
\item%
Falso. $H=0 \Rightarrow k_1=k_2\Rightarrow K\leq 0 $
\item%
Verdadero. Toda superficie de Delaunay es una superficie de revolución con curvatura media $H$ constante, la cual es generada por una 'roulette' de una cónica, según el teorema de Delaunay. La cateneria es el lugar geométrico de el foco de una parábola 'moviéndose' sobre una recta (roulette). En este caso para la catenoide $H=0$. (ejercicio 3.6.5)
\item%
Falso, contradecería el Teo. 3.5.3
\item%
Falso. $\displaystyle K=-\frac{2}{u^2(1+4u^2)^2}$
\item%
Falso. $\displaystyle H=\frac{1}{2}\frac{1+2u^2}{u^2(1+4u^2)^{3/2}}$
\item%
Falso. $f_{uu}(1+f_v^2)-2f_u f_v f_{uv} +f_{vv}(1+fu^2)=-2uv \neq 0$
\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Demuestre que una superficie de revolución 'llana' (flat), $K=0$, es parte de un plano, de un cono o de un cilindro.

\noindent{\vrule width 5cm height 0.4pt}

\textsc{Solución.}
Para las superficies de revolución $X(u,v)=(g(u),h(u)\cos v, h(u) \sin v)$


\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3

Considere la superficie de revolución:
$\displaystyle
X(u,v)=\left( f(v)\cos u ,\, f(v) \sin u ,\, g(v)\right)
$
\begin{enumerate}
\item%
Demuestre que las curvas coordenadas (curvas de curvatura, paralelos $\pi$ y meridianos $\mu$) se cortan ortogonalmente. 
\item%
Calcule $E$, $F$ y $G$ en términos de $f$ y  $g$.
\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 5cm height 0.4pt}

\textsc{Solución.}
\begin{enumerate}
\item%

\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4

Una superficie tiene en unas coordenadas $(u,v)$
  \begin{center}
    \begin{tabular}{lll}
      	$E=p \, \sin^2 u +\cos^2 u$ & \quad $F=0$ & \quad $G=p\, \cos^2 u$  \\
     		$\displaystyle l=\frac{1}{t}$  & \quad $m=0$ & \quad $\displaystyle n=\frac{\cos^2 u}{t}$ \\
    \end{tabular}
  \end{center}
donde $t$ es una función que no se anula. Determine el valor del parámetro $p$ para que la superficie sea un trozo de una esfera o un plano.

\noindent{\vrule width 5cm height 0.4pt}

\textsc{Solución.}
\begin{enumerate}
\item%

\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}



\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 50 minutos

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
