\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{16cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Primer Parcial
--- (05/09/2005) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c||p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 &  Total \\
        \hline\hline
        Valor & 4 & 6 & 10 & 20 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &   \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

\noindent \texttt{En cualquiera de los puntos todas las superficies y curvas se consideran regulares. Justifique matemáticamente toda respuesta. En caso contrario se inva\-li\-dará.}

\noindent{\texttt{}}

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Conteste Falso (F) o Verdadero (V). Justificación muy corta, una
frase.
\begin{enumerate}
\item%
\( [2 pt.] \) Si $\alpha$ es una curva plana cerrada simple (sin
auto-intersecciones), de $6 cm$ de longitud, entonces ella  puede
encerrar una superficie plana de $3 cm^2$ de área.%
\item%
\( [2 pt.] \) Existe en el plano una curva con rapidez unitaria
tal que $\frac{\kappa}{\tau}=1$
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Considere la hélice circular \(\displaystyle{\alpha
(s)=\left(\cos\frac{s}{\sqrt{2}},\sin\frac{s}{\sqrt{2}},\frac{s}{\sqrt{2}}\right)}\).
\begin{enumerate}
\item%
\( [1 pt.] \) Muestre que la curvatura $\kappa = \frac{1}{2}$.
\item%
\( [1 pt.] \) Muestre que la torsión $\tau = \frac{1}{2}$.
\item%
\( [2 pt.] \) Muestre, en general, que el vector de Darboux $\omega$
satisface: \(\omega = \tau T + \kappa B\). \textbf{Ayuda:} \textit{
Escriba \(\omega = aT+bN+cB\), y use la definición.}
\item%
\( [2 pt.] \) Halle el vector de Darboux de la hélice dada.
\newline Tiene alguna relación con el eje $z$?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3
La superficie que se genera al rotar la catenaria \( y = \cosh x\)
alrededor del eje $x$ se le conoce como catenoide.
\begin{enumerate}
\item%
\( [2 pt.] \) \textbf{Hecho.} Al girar la curva
\(\displaystyle{\alpha (u)=\left( g(u), h(u) \right)}\) alrededor
del eje $x$, se obtiene una superficie de revolución con una
parametrización que se puede escribir: \( X(u,v) = \left( g(u),
h(u)\cos(v), h(u)\sin(v) \right)\). Use lo anterior para hallar
una parametrización de la catenoide $\Sigma$.
\item%
\( [2 pt.] \) Halle el vector normal \(\displaystyle{U=\frac{X_u
\times X_v}{|X_u \times X_v|}}\) para la catenoide $\Sigma$.
\item%
\( [2 pt.] \) Halle los coeficientes de la Primera Forma
Fundamental I de $\Sigma$.
\item%
\( [2 pt.] \) Halle los coeficientes de la Segunda Forma
Fundamental II de $\Sigma$.
\item%
\( [2 pt.] \) Halle los coeficientes del Operador Forma $S$ de
$\Sigma$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 50 minutos

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
