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\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{16cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Primer Parcial
--- (06/09/2004) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c||p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 & 4 & 5  &  Total \\
        \hline\hline
        Valor & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &  &  &   \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

\noindent \texttt{En cualquiera de los puntos todas las superficies y curvas se consideran regulares. Justifique matemáticamente toda respuesta. En caso contrario se inva\-li\-dará.}

\noindent{\texttt{}}

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Considere la curva:
$
\displaystyle
\beta (s) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos s, \, \sin s, \, \frac{1}{\sqrt{2}} \cos s \right)
$
\newline
Halle la curvatura $\kappa$ y la torsión $\tau$.

\item% 2
Sea $\textbf{u}_p$ un vector tangente unitario en $p$ a una curva sobre $M$, $\textbf{u}_p \in T_p M$, $|\textbf{u}_p|=1$, y sea $\beta (s)$ una curva sobre $M$ parametrizada con rapidez unitaria tal que $\beta(0)=p$ y $\beta'(0)=\textbf{u}_p$. Demuestre que $k(\textbf{u}_p)=\kappa \cos \theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores normales $U$ y $N$.

\item% 3
Demuestre que si $M$ es una superficie mínima, entonces $K\leq 0$. \texttt{Ayuda}: \textit{Observe sus curvaturas principales}.

\item% 4
Sea $M$ el cilindro $\displaystyle{x^2+y^2=R^2}$ parametrizado por $X(u,v)=(R\cos u, R \sin u , v)$
\begin{enumerate}
\item Muestre que el operador forma $S$ está descrito en la base $\{X_u, x_v\}$ por 
\newline $S(X_u)=-\frac{1}{R}X_u$, $S(X_v)=0$.
\item Es ésta una superficie mínima?. Es 'llana' (flat)?. Explique.
\end{enumerate}

\item% 5
Conteste Falso (F) o Verdadero (V). Justificación muy corta.
\begin{enumerate}
\item%
Si $\displaystyle{\beta (s) = \int_0^s B_{\alpha} (t) dt}$, donde $\alpha (s)$ es una curva con rapidez unitaria,  entonces $\kappa_{\beta} = \tau_{\alpha}$. 
\item%
El operador forma $S$ tiene sus valores propios reales.
\item%
Si $p$ es un punto umbílico, entonces $H(p)=0$.
\item%
En términos de longitud de arco sucede que: $\kappa \tau = - T' \cdot B'$
\item%
Existe una curva $\alpha : [a,b]\subset \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^3$ con $\kappa = 0$ y $\tau =1$

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 50 minutos

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
