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\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf 01372 Geometría Diferencial 1
 \\
Cuarto Parcial
--- (06-05-1993) } 
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline

NOMBRE:{\vrule width 7.5cm height 0.4pt}  CODIGO:{\vrule  width 3cm
height 0.4pt} 


\begin{enumerate}
\item%
(Valor: 1.5) Considere la esfera unitaria $S^2$.

a) Halle los coeficientes o s\'\i mbolos de Christoffel de la conexi\'on 
de Riemann utilizando la m\'etrica de la esfera y la siguiente
definici\'on: 
$$
\Gamma_{ij}^{l} \,\, = \,\, \frac{1}{2}g^{kl}(\partial _{i}g_{kj} + 
\partial_{j}g_{ki} - \partial_{k}g_{ij})
$$

b) Halle los coeficientes o s\'\i mbolos de Christoffel para la esfera 
utilizando los coeficientes de la primera y la segunda forma fundamental.

\bigskip

Nota: Siga los siguientes pasos para hallar la m\'etrica de la
esfera: 

a) Considere la m\'etrica euclidiana en $\Bbb R^3$ : $ds^2 = dx^2 +
dy^2 + dz^2 $. Ahora considere la esfera $S^2$, de radio $R$ como una superficie
encajada o inmersa en $\Bbb R^3$ con la parametrizaci\'on natural que
d\'a las coordenadas esf\'ericas en $\Bbb R^3$ con $\vartheta$ el
\'angulo polar y $\varphi$ el \'angulo del tercer coseno director.
Deduzca entonces:
$$
ds^2 = R^2 ( \sin ^2 \varphi d\vartheta^2 + d\varphi^2)
$$

b) Luego considere proyecci\'on estereogr\'afica de la esfera centrada
en el origen con centro de proyecci\'on el polo norte y el plano $xy$
como im\'agen de la proyecci\'on. Considere el \'angulo $\alpha$ como
el \'angulo de "alzada" o "levantamiento" entre el rayo de la
proyecci\'on y el plano $xy$. Demuestre que $\alpha = \varphi /2$ y
deduzca entonces que:
$$
ds^2 = \frac{4R^4}{(R^2 + r^2)^2}( dr^2 + r^2 d\vartheta^2 )
$$
donde $r$ es el radio polar en el plano $xy$.

c) Deduzca finalmente utilizando cambio de variables de polares a
cartesianas en el plano que:
$$
ds^2 = \frac{4R^4}{(R^2 + x^2 + y^2)^2}( dx^2 + dy^2 )
$$
es decir la esfera $S^2$ tiene una m\'etrica conforme al plano
euc\'\i deo $\Bbb R^2$. Las componentes del tensor m\'etrico que habla la
f\'ormula de este problema son justamente las de esta forma.
\bigskip


\item%
(Valor: 2) a) Demostrar que si el elemento lineal de una superficie
es: 
\[
ds^2 = \lambda(du^2 + dv^2)
\]
entonces su curvatura gaussiana est\'a dada por:

$$
\kappa = - \frac{1}{2 \lambda}\Delta \ln \lambda
$$
donde $\Delta$ es el laplaciano.

b) Utilice este resultado para hallar la curvatura gaussiana de la
esfera. 

c) Halle la curvatura gaussiana de la pseudoesfera. (Rotaci\'on de una tractriz)

NOTA: Toda superficie con elemento lineal (*) (primera forma cuadr\'atica),
se denomina conforme al plano eucl\'\i deo o simplemente {\it conforme plana}.

d) Halle los s\'\i mbolos de Christoffel $\Gamma_{ij}^{k}$ de una
superficie conforme plana.
\bigskip


\item%
(Valor: 1.5) a) Una aplicaci'on de una superficie sobre otra se
denomina {\it geod\'esica} si las l\'\i neas geod\'esicas de una
corresponden mediante la aplicaci\'on a las de la otra. Se puede
demostrar, no lo haga, que toda superficie con curvatura gaussiana
constante admite una aplicaci\'on geod\'esica sobre el plano eucl\'\i
deo. Mostrar, haciendo dibujos \'unicamente, c\'omo se construir\'\i a
la aplicaci\'on geod\'esica entre la esfera y el plano. Resuelve esto
el problema de hacer mapamundis fieles?.

b) Hacer tres dibujos, uno un plano, otro una esfera y otro una
pseudoesfera. Mostrar, intuitivamente, como se aplica el teorema de
Gauss-Bonnet aplicado a un tri\'angulo geod\'esico en cada una de
estas superficies, es decir mostrar intuitivamente que:

$$
\alpha + \beta + \gamma = \pi + {\int_{\Delta} \int} \kappa d\delta 
$$
c) Si admitir\'\i amos que el universo tuviese una m\'etrica
esf\'erica y tres estrellas a igual (aproximadamente) distancia de la
tierra las ubic\'aramos es una b\'oveda esf\'erica qu\'e resultado
esperar\'\i amos al medir la suma de los \'angulos interiores al
tri\'angulo cuyos v\'ertices son las estrellas?. Depende el resultado
de la distancia entre ellas?. En este problema estuvo mucho tiempo
trabajando Nicolai Ivanovich Lobatchevski, para tratar de mostrar
experimentalmente la existencia de otros tipos de geometr\'\i as
diferentes a la de Eucl\'\i des.

\end{enumerate}
\end{document}