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\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf 01372 Geometría Diferencial 1
 \\
Tercer Parcial
--- (12-04-1993) } 
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline

NOMBRE:{\vrule width 7.5cm height 0.4pt}  CODIGO:{\vrule  width 3cm
height 0.4pt} 

\begin{enumerate}

\item%
(Valor: 1.5) Considere la esfera unitaria $S^2$.

a) Halle su primera forma fundamental y segunda forma fundamental.

b) Considere una "h\'elice" sobre la esfera que une el polo sur con
el polo norte de tal manera que la trayectoria s\'olo d\'a una vuelta
sobre la esfera. Halle la longitud de la trayectoria y halle
anal\'iticamente la distancia entre los polos medida sobre la esfera.
Compare los dos resultados.

c) Halle l;a ecuaci\'on del plano tangente a la esfera en el polo
norte. 
\bigskip

\item%
(Valor: 1) Probar que todos los planos tangentes a la
superficie: 
$$
z = x \varphi (\frac{y}{x})
$$ 
pasan por el origen de coordenadas.
\bigskip

\item%
(Valor: 1) Hallar la envolvente de la familia de esferas:
$$
(x - a)^2 + y^2 + z^2 =1
$$
\bigskip


\item%
(Valor: 1.5) Demostrar que existe una aplicaci\'on isom\'etrica
del helicoide:
$$
x = u \cos v, \,\,\, y = u \sin v,  \,\,\, z = m v
$$
sobre el catenoide:
$$
x = \alpha \cos \beta , \,\,\, y = \alpha \sin \beta, \,\,\, z = m
arch \frac{\alpha}{m}
$$
tal que las generatrices rectil\'ineas del helicoide corresponden a
los meridianos del catenoide.

Nota: Investigue sobre el catenoide. C\'omo se genera, que
particularidad geom\'etrica tiene, etc.
\bigskip
\end{enumerate}
\end{document}